Determine se a integral converge ou diverge; no caso de convergência, ache seu valor.
.
Passo 1
A questão pede para determinar se a integral
converge ou diverge. O conteúdo é de integrais impróprias, pois o integrando tem singularidade em x=−1 (no intervalo de integração). Vamos precisar: identificar o ponto de descontinuidade, achar a primitiva de (x+1)^{−3} e avaliar limites.
Passo 2
Primeiro, encontramos a primitiva de
. Lembrando que, em geral,
Aqui n=−3, logo n+1=−2, e
Passo 3
Em seguida, como há singularidade em x=−1, quebramos a integral em duas partes impróprias:
Usando a primitiva
em cada parte, avaliamos:
Passo 4
Para a parte de à esquerda,
Como
, isso fica
Quando
,
e assim essa parte tende a
.
Passo 5
Para a parte de à direita,
Quando
,
e essa parte tende a
.
Passo 6
Como pelo menos uma das partes diverge (na verdade ambas se comportam de forma não limitada), a integral imprópria não converge.
Resposta
A integral diverge.