Determine se a integral converge ou diverge; no caso de convergência, ache seu valor.
integral-5^0 1(x+1)^3 d x.

Passo 1

A questão pede para determinar se a integral
integral-5^0 1(x+1)^3,dx
converge ou diverge. O conteúdo é de integrais impróprias, pois o integrando tem singularidade em x=−1 (no intervalo de integração). Vamos precisar: identificar o ponto de descontinuidade, achar a primitiva de (x+1)^{−3} e avaliar limites.

Passo 2

Primeiro, encontramos a primitiva de (x+1)^-3. Lembrando que, em geral,
integral (x+1)^n,dx=(x+1)^n+1n+1+C(nneq-1)
Aqui n=−3, logo n+1=−2, e
integral (x+1)^-3,dx=(x+1)^-2-2+C=-12(x+1)^-2+C

Passo 3

Em seguida, como há singularidade em x=−1, quebramos a integral em duas partes impróprias:
integral-5^0=limtto -1^-integral-5^t+limsto -1^+integrals^0
Usando a primitiva -tfrac12(x+1)^-2 em cada parte, avaliamos:

Passo 4

Para a parte de à esquerda,
integral-5^t1(x+1)^3,dx=-12l[(x+1)^-2r]-5^t=-12l[(t+1)^-2-(-4)^-2r]
Como (-4)^-2=1/16, isso fica
-12(t+1)^-2+132
Quando tto -1^-, (t+1)^-2to+infty e assim essa parte tende a -infty.

Passo 5

Para a parte de à direita,
integrals^01(x+1)^3,dx=-12l[(x+1)^-2r]s^0=-12l[1-(s+1)^-2r]
=-12+12(s+1)^-2
Quando sto -1^+, (s+1)^-2to+infty e essa parte tende a +infty.

Passo 6

Como pelo menos uma das partes diverge (na verdade ambas se comportam de forma não limitada), a integral imprópria não converge.

Resposta

A integral diverge.

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