Use a definição de derivada para obter o coeficiente angular da tangente ao gráfico de f(x) em P=(a, f(a)) e em seguida calcule a equação da reta tangente em P.
f(x)=1x^2 em P=(2, f(2))

Passo 1

Resumindo a questão: queremos a derivada de f(x)=1x^2 no ponto x=a=2, isto é, o coeficiente angular da reta tangente em P=(2,f(2)), e depois sua equação. O conteúdo é derivada pela definição (limite do quociente incremental).

Passo 2

No ponto 2, temos f(2)=12^2=14. Pela definição, f'(2)=limhto0f(2+h)-f(2)h, onde f(2+h)=1(2+h)^2.
Escrevendo o quociente incremental fica
1(2+h)^2-14h = 4-(2+h)^24h(2+h)^2

Passo 3

Expandindo o numerador: 4-(2+h)^2=4-(4+4h+h^2)=-4h-h^2=-h(4+h). Assim
-h(4+h)4h(2+h)^2 = -4+h4(2+h)^2, onde cancelamos h.
Tomando o limite hto0, o numerador tende a -4 e o denominador a 4cdot2^2=16. Logo
f'(2) = -416 = -14
Esse é o coeficiente angular m da reta tangente.

Passo 4

Para a equação da reta tangente usamos a forma ponto-inclinação:
y - f(2) = f'(2)(x - 2)
Substituindo f(2)=tfrac14 e f'(2)=-tfrac14 temos
y - tfrac14 = -tfrac14(x - 2)
Resolvendo para y obtemos
y = -tfrac14x + tfrac34

Resposta

A derivada em 2 é f'(2)=-tfrac14 e a reta tangente é y=-tfrac14x+tfrac34.

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