Calcule as integrais indefinidas abaixo:
9)
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Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a integranda é
(ou seja,
). O objetivo é encontrar uma primitiva (função cuja derivada é
), mais uma constante arbitrária
.
Passo 2
Vamos usar uma identidade trigonométrica que simplifica potências de cosseno. A identidade do ângulo duplo para o cosseno é
Essa identidade vem de usar fórmulas trigonométricas básicas; rearranjando-a isolamos
:
Aqui
significa
. A vantagem desta transformação é que transformamos a função quadrática em uma soma de termos mais fáceis de integrar: uma constante e um cosseno de argumento
.
Passo 3
Substituindo a identidade dentro da integral, obtemos
Separe a integral em duas parcelas:
Explicando: usei a linearidade da integral — a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem ser colocadas fora da integral.
Passo 4
Calcule cada parcela:
- Para a primeira parcela,
, porque a primitiva de é . - Para a segunda parcela, precisamos da primitiva de
. Usa-se a fórmula geral
porque a derivada de
é
. Aqui
, logo
Multiplicando pelo
que estava fora, obtemos
.
Passo 5
Somando as duas parcelas, a primitiva completa é
onde
é a constante de integração. Essa é uma forma padrão da resposta.
Passo 6
Opcionalmente, pode-se usar a identidade
para escrever a primitiva de outra maneira:
Ambas as formas são equivalentes (diferem apenas na escrita).
Passo 7
Verificação rápida por derivação (para ganhar confiança): derivando
obtemos
Somando:
, que é a integranda original. Pronto — está correto.