Calcule as integrais indefinidas abaixo:
9) \int \cos ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cos^{2} x \, dx.
Informações dadas: a integranda é \cos^{2}x (ou seja, (\cos x)^2). O objetivo é encontrar uma primitiva (função cuja derivada é \cos^{2}x), mais uma constante arbitrária C.

Passo 2

Vamos usar uma identidade trigonométrica que simplifica potências de cosseno. A identidade do ângulo duplo para o cosseno é
\cos(2x)=2\cos^{2}x-1.
Essa identidade vem de usar fórmulas trigonométricas básicas; rearranjando-a isolamos \cos^{2}x:
\cos^{2}x=\frac{1+\cos(2x)}{2}.
Aqui \cos^{2}x significa (\cos x)^2. A vantagem desta transformação é que transformamos a função quadrática em uma soma de termos mais fáceis de integrar: uma constante e um cosseno de argumento 2x.

Passo 3

Substituindo a identidade dentro da integral, obtemos
\int \cos^{2}x \, dx = \int \frac{1+\cos(2x)}{2} \, dx.
Separe a integral em duas parcelas:
\int \frac{1+\cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2}\int 1 \, dx + \frac{1}{2}\int \cos(2x) \, dx.
Explicando: usei a linearidade da integral — a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem ser colocadas fora da integral.

Passo 4

Calcule cada parcela:
  • Para a primeira parcela, \frac{1}{2}\int 1 \, dx = \frac{1}{2} x, porque a primitiva de 1 é x.
  • Para a segunda parcela, precisamos da primitiva de \cos(2x). Usa-se a fórmula geral
\int \cos(a x)\,dx = \frac{1}{a}\sin(a x) + C,
porque a derivada de \sin(a x) é a\cos(a x). Aqui a=2, logo
\int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x).
Multiplicando pelo \tfrac{1}{2} que estava fora, obtemos \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{4}\sin(2x).

Passo 5

Somando as duas parcelas, a primitiva completa é
\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C,
onde C é a constante de integração. Essa é uma forma padrão da resposta.

Passo 6

Opcionalmente, pode-se usar a identidade \sin(2x)=2\sin x\cos x para escrever a primitiva de outra maneira:
\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\sin x\cos x + C.
Ambas as formas são equivalentes (diferem apenas na escrita).

Passo 7

Verificação rápida por derivação (para ganhar confiança): derivando \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) obtemos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{2}x\right)=\frac{1}{2},\qquad \frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{4}\sin(2x)\right)=\frac{1}{4}\cdot 2\cos(2x)=\frac{1}{2}\cos(2x).
Somando: \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(2x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}=\cos^{2}x, que é a integranda original. Pronto — está correto.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin(2x)+C

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