Calcule as integrais indefinidas abaixo:
8) \int \operatorname{sec} ^{3} x d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pedido: calcular a integral indefinida \displaystyle \int \operatorname{sec}^{3} x\,dx.
  • Informação dada: a função integranda é \operatorname{sec}^{3}x, ou seja \operatorname{sec} x elevado ao cubo. Não há outras restrições fornecidas (domínio, pontos singulares etc.).
  • Resultado esperado: uma primitiva geral (com constante de integração C).

Passo 2

Ideia inicial (sem resolver ainda): escrever \operatorname{sec}^{3}x como produto que facilite integração por partes:
\operatorname{sec}^{3}x = \operatorname{sec} x\cdot \operatorname{sec}^{2}x.
A técnica que vamos usar: integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e dv são funções escolhidas, du é a derivada de u vezes dx e v é uma primitiva de dv. Vou escolher u e dv de forma a simplificar a integral que sobra.

Passo 3

Escolha para aplicar integração por partes:
  • Escolho u=\operatorname{sec} x. Então
du = \frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x)\,dx = \operatorname{sec} x\tan x\,dx.
  • Escolho dv=\operatorname{sec}^{2}x\,dx. Então uma primitiva é
v=\tan x,
porque \dfrac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^{2}x.
Agora aplico a fórmula:
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \int \operatorname{sec} x\cdot \operatorname{sec}^{2}x\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u,v,du:
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \operatorname{sec} x\tan x - \int \tan x \cdot (\operatorname{sec} x\tan x)\,dx.

Passo 4

Simplificar o integrando restante:
\tan x\cdot (\operatorname{sec} x\tan x) = \operatorname{sec} x \tan^{2}x,
portanto
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \operatorname{sec} x\tan x - \int \operatorname{sec} x \tan^{2}x\,dx.

Passo 5

Usar identidade trigonométrica para eliminar \tan^{2}x. A identidade é
\tan^{2}x = \operatorname{sec}^{2}x - 1.
Substituindo:
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \operatorname{sec} x\tan x - \int \operatorname{sec} x(\operatorname{sec}^{2}x - 1)\,dx.
Distribuindo a integral:
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \operatorname{sec} x\tan x - \int \operatorname{sec}^{3}x\,dx + \int \operatorname{sec} x\,dx.

Passo 6

Isolar \displaystyle \int \operatorname{sec}^{3}x\,dx. Somando \int \operatorname{sec}^{3}x\,dx aos dois lados:
2\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \operatorname{sec} x\tan x + \int \operatorname{sec} x\,dx.
Logo
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \frac{1}{2}\Big(\operatorname{sec} x\tan x + \int \operatorname{sec} x\,dx\Big).
Agora falta calcular \displaystyle \int \operatorname{sec} x\,dx.

Passo 7

Calcular \displaystyle \int \operatorname{sec} x\,dx (fórmula padrão, com demonstração rápida):
Use a substituição
u=\operatorname{sec} x + \tan x.
Calcule du:
du = (\operatorname{sec} x\tan x + \operatorname{sec}^{2}x)\,dx = \operatorname{sec} x(\tan x + \operatorname{sec} x)\,dx = \operatorname{sec} x(\operatorname{sec} x + \tan x)\,dx = \operatorname{sec} x\cdot u\,dx.
Isolando \operatorname{sec} x\,dx:
\operatorname{sec} x\,dx = \frac{du}{u}.
Portanto
\int \operatorname{sec} x\,dx = \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C = \ln|\operatorname{sec} x + \tan x| + C.
(Esse C é uma constante de integração; quando voltarmos à integral original juntaremos tudo em uma única constante.)

Passo 8

Substituir \displaystyle \int \operatorname{sec} x\,dx na expressão obtida em Passo 6:
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \frac{1}{2}\Big(\operatorname{sec} x\tan x + \ln|\operatorname{sec} x + \tan x|\Big) + C,
onde C é constante de integração.

Passo 9

Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): derivar a primitiva encontrada e checar que volta \operatorname{sec}^{3}x.
Se F(x)=\dfrac{1}{2}\big(\operatorname{sec} x\tan x + \ln|\operatorname{sec} x + \tan x|\big), então
F'(x) = \frac{1}{2}\big(\,(\operatorname{sec} x\tan x)' + (\ln|\operatorname{sec} x + \tan x|)'\,\big).
Calcule cada derivada:
(\operatorname{sec} x\tan x)' = \operatorname{sec} x\tan^{2}x + \operatorname{sec}^{3}x,
(\ln|\operatorname{sec} x + \tan x|)' = \frac{\operatorname{sec} x\tan x + \operatorname{sec}^{2}x}{\operatorname{sec} x + \tan x} = \frac{\operatorname{sec} x(\tan x + \operatorname{sec} x)}{\operatorname{sec} x + \tan x} = \operatorname{sec} x.
Somando e multiplicando por 1/2:
F'(x)=\frac{1}{2}\big(\operatorname{sec} x\tan^{2}x + \operatorname{sec}^{3}x + \operatorname{sec} x\big) =\frac{1}{2}\big(\operatorname{sec}^{3}x + \operatorname{sec} x(\tan^{2}x+1)\big).
Usando \tan^{2}x+1=\operatorname{sec}^{2}x:
F'(x)=\frac{1}{2}\big(\operatorname{sec}^{3}x + \operatorname{sec} x\operatorname{sec}^{2}x\big) =\frac{1}{2}\big(\operatorname{sec}^{3}x + \operatorname{sec}^{3}x\big)=\operatorname{sec}^{3}x,
que confere com o integrando.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\Big(\operatorname{sec} x\tan x + \ln\big|\operatorname{sec} x + \tan x\big|\Big) + C

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