Calcule as integrais indefinidas abaixo:
8)
8)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pedido: calcular a integral indefinida
. - Informação dada: a função integranda é
, ou seja elevado ao cubo. Não há outras restrições fornecidas (domínio, pontos singulares etc.). - Resultado esperado: uma primitiva geral (com constante de integração
).
Passo 2
Ideia inicial (sem resolver ainda): escrever
como produto que facilite integração por partes:
A técnica que vamos usar: integração por partes. A fórmula de integração por partes é
onde
e
são funções escolhidas,
é a derivada de
vezes
e
é uma primitiva de
. Vou escolher
e
de forma a simplificar a integral que sobra.
Passo 3
Escolha para aplicar integração por partes:
- Escolho
. Então
- Escolho
. Então uma primitiva é
porque
.
Agora aplico a fórmula:
Substituindo
:
Passo 4
Simplificar o integrando restante:
portanto
Passo 5
Usar identidade trigonométrica para eliminar
. A identidade é
Substituindo:
Distribuindo a integral:
Passo 6
Isolar
. Somando
aos dois lados:
Logo
Agora falta calcular
.
Passo 7
Calcular
(fórmula padrão, com demonstração rápida):
Use a substituição
Use a substituição
Calcule
:
Isolando
:
Portanto
(Esse
é uma constante de integração; quando voltarmos à integral original juntaremos tudo em uma única constante.)
Passo 8
Substituir
na expressão obtida em Passo 6:
onde
é constante de integração.
Passo 9
Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): derivar a primitiva encontrada e checar que volta
.
Se
, então
Calcule cada derivada:
Somando e multiplicando por
:
Usando
:
que confere com o integrando.