Calcule as integrais indefinidas abaixo (de 1 a 73):
integral 4 x+82 x^2+8 x+20 d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral indefinida de 4x + 82x^2 + 8x + 20 em relação a x. Isso cai na matéria de Cálculo Integral, mais especificamente em integrais de funções racionais. Vamos precisar usar a técnica de substituição para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador 2x^2 + 8x + 20. Podemos fatorar o 2:
2x^2 + 8x + 20 = 2(x^2 + 4x + 10)

Passo 3

Agora, olha só o numerador 4x + 8. Vemos que ele é múltiplo de 2x + 4:
4x + 8 = 2(2x + 4)
Isso é importante porque 2x + 4 é a derivada de x^2 + 4x + 10, o que facilita a substituição.

Passo 4

Vamos fazer a substituição. Seja:
u = x^2 + 4x + 10
Então, a derivada de u em relação a x é:
dudx = 2x + 4 Rightarrow du = (2x + 4)dx

Passo 5

Agora, reescrevemos a integral em termos de u:
integral 4x + 82x^2 + 8x + 20 dx = integral 2(2x + 4)2(x^2 + 4x + 10) dx = integral 2(2x + 4)2u dx = integral 2x + 4u dx
Como du = (2x + 4)dx, podemos substituir:
integral duu

Passo 6

A integral de 1u em relação a u é o logaritmo natural:
integral duu = ln|u| + C

Passo 7

Finalmente, substituímos u de volta para termos em x:
ln|x^2 + 4x + 10| + C

Resposta

A integral é ln|x^2 + 4x + 10| + C.

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