Calcule as seguintes integrais:
integral0^raiz2 integraly^raiz4-y^2 integral0^raiz4-x^2-y^2 raizx^2+y^2+z^2 d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^raiz2integraly^raiz4-y^2integral0^raiz4-x^2-y^2raizx^2+y^2+z^2;dz;dx;dy
O integrando raizx^2+y^2+z^2 sugere usar coordenadas esféricas, pois nessa mudança a expressão raizx^2+y^2+z^2 fica simplesmente rho, e o elemento de volume é dV=rho^2sintheta,drho,dtheta,dvarphi.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x = rhosinthetacosvarphi, y = rhosinthetasinvarphi, z = rhocostheta, dV = rho^2sintheta,drho,dtheta,dvarphi
O integrando raizx^2+y^2+z^2 transforma-se em rho, de modo que o produto integrand ocdot jacobiano é
rho;times;rho^2sintheta ;=;rho^3sintheta

Passo 3

Agora identificamos os limites em esféricas:
— A região está dentro da esfera de raio 2, logo rhoin[0,2].
— Como z>=0, o ângulo polar theta vai de 0 até tfracpi2.
— No plano xy, temos y>=0, x>= y, o que corresponde a varphiin[0,tfracpi4].

Passo 4

A integral tripla fica
integralvarphi=0^pi/4 integraltheta=0^pi/2 integralrho=0^2 rho^3sintheta ,drho,dtheta,dvarphi

Passo 5

Calculemos primeiro a parte em rho:
integral0^2rho^3,drho = [rho^44]0^2 = 2^44 = 164 = 4

Passo 6

Em seguida a parte em theta:
integral0^pi/2sintheta,dtheta = l[-costhetar]0^pi/2 = l(-0r)-l(-1r) = 1

Passo 7

Por fim a parte em varphi:
integral0^pi/4dvarphi = pi4

Passo 8

Multiplicando os três resultados temos
4 times 1 times pi4 = pi

Resposta

pi

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