Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
O integrando
sugere usar coordenadas esféricas, pois nessa mudança a expressão
fica simplesmente
, e o elemento de volume é
.
Passo 2
Em coordenadas esféricas definimos
O integrando
transforma-se em
, de modo que o produto integrand
acobiano é
Passo 3
Agora identificamos os limites em esféricas:
— A região está dentro da esfera de raio , logo
.
— Como , o ângulo polar
vai de
até
.
— No plano , temos
,
, o que corresponde a
.
— A região está dentro da esfera de raio
— Como
— No plano
Passo 4
A integral tripla fica
Passo 5
Calculemos primeiro a parte em
:
Passo 6
Em seguida a parte em
:
Passo 7
Por fim a parte em
:
Passo 8
Multiplicando os três resultados temos