Usando coordenadas cilíndricas, calcule o volume de um cone circular de altura h e raio da base igual a R.

Passo 1

Nesse exercício vamos usar coordenadas cilíndricas para calcular o volume de um cone circular reto de altura h e raio da base R. A ideia é montar uma integral tripla sobre o cone, lembrando que o jacobiano das coordenadas cilíndricas é r.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas o cone é descrito por
thetain[0,2pi],
zin[0,h] e
r variando de 0 até a reta lateral do cone. Como a reta que liga o vértice (0,0,h) à borda da base (R,0,0) satisfaz
r=Rh,(h-z),
temos
0 <= r <= Rl(1 - tfraczhr)
Portanto o volume é
V = integral triplacone r ,dr,dtheta,dz

Passo 3

Substituindo os limites,
V = integraltheta=0^2pi integralz=0^h integralr=0^R(1-tfraczh) r ,dr,dz,dtheta
Começamos integrando em r:
integral0^R(1-tfraczh) r,dr =l[tfracr^22r]0^R(1-tfraczh) =tfrac12,R^2l(1 - tfraczhr)^2

Passo 4

Agora a integral fica
V = integral0^2pi dtheta integral0^h tfrac12R^2l(1 - tfraczhr)^2 dz = 2picdot tfracR^22 integral0^hl(1 - tfraczhr)^2dz
Fazendo a mudança u=1-tfraczh ou expandindo o quadrado, obtemos
integral0^hl(1 - tfraczhr)^2dz =hintegral0^1u^2du =hcdottfrac13 =tfrach3
Logo
V = 2picdot tfracR^22cdot tfrach3 = tfracpi R^2 h3

Resposta

O volume do cone é pi R^2h3.

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