Usando coordenadas cilíndricas, calcule o volume de um cone circular de altura
e raio da base igual a
.
Passo 1
Nesse exercício vamos usar coordenadas cilíndricas para calcular o volume de um cone circular reto de altura
e raio da base
. A ideia é montar uma integral tripla sobre o cone, lembrando que o jacobiano das coordenadas cilíndricas é
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas o cone é descrito por
,
e
variando de 0 até a reta lateral do cone. Como a reta que liga o vértice
à borda da base
satisfaz
temos
Portanto o volume é
Passo 3
Substituindo os limites,
Começamos integrando em
:
Passo 4
Agora a integral fica
Fazendo a mudança
ou expandindo o quadrado, obtemos
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Resposta
O volume do cone é
.