Encontre f.
f^prime prime prime(t)=e^t+t^-4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma função f(t) cuja terceira derivada seja f'''(t)=e^t+t^-4. O conteúdo principal aqui é cálculo de antiderivadas (integração), e vamos usar o fato de que a derivada de e^t é e^t e que a antiderivada de t^n é t^n+1/(n+1) (para nneq-1).

Passo 2

Primeiro integramos f'''(t) para obter f''(t). Integramos termo a termo:
integrall(e^t+t^-4r),dt=e^t-tfrac13t^-3+C1,
logo
f''(t)=e^t-13t^-3+C1

Passo 3

Em seguida integramos f''(t) para achar f'(t). Novamente termo a termo:
integrall(e^t-tfrac13t^-3+C1r),dt=e^t+tfrac16t^-2+C1t+C2,
então
f'(t)=e^t+16t^-2+C1t+C2

Passo 4

Por fim, integramos f'(t) para obter f(t):
integrall(e^t+tfrac16t^-2+C1t+C2r),dt=e^t-tfrac16t^-1+C12t^2+C2t+C3,
logo a solução geral é:
f(t)=e^t-16t+C12t^2+C2t+C3

Resposta

f(t)=e^t-16t+C12t^2+C2t+C3, em que C1,C2,C3 são constantes de integração.

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