Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int e^{u} d u

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int e^{u}\,du.
Informações dadas e convenções:
  • A variável de integração é u.
  • Elementos que não forem a variável de integração devem ser tratados como constantes (aqui não há outras variáveis explícitas).
  • O resultado deve ser uma família de primitivas, ou seja, a antiderivada mais uma constante de integração C.

Passo 2

Lembrete didático do que é uma integral indefinida: encontrar \displaystyle \int f(u)\,du é encontrar uma função F(u) tal que
\frac{d}{du}F(u)=f(u).
Nesse caso queremos uma função F(u) cuja derivada seja f(u)=e^{u}. Não esquecer de acrescentar a constante de integração \,C ao final, porque derivadas “perdem” constantes.

Passo 3

Usar a regra básica de derivação da função exponencial. Sabemos (é uma fórmula padrão) que
\frac{d}{du}\big(e^{u}\big)=e^{u}.
Isso significa que e^{u} é sua própria derivada.

Passo 4

Como e^{u} tem derivada e^{u}, concluímos que uma primitiva de e^{u} é e^{u} mesmo. Portanto a integral indefinida é
\int e^{u}\,du = e^{u} + C,
onde \,C é uma constante arbitrária. Verificação rápida: derivando e^{u}+C obtemos e^{u}, como desejado.

Passo 5

Dica extra útil para a prova: se fosse \displaystyle \int e^{a u}\,du com constante a (e a\neq0), a primitiva seria
\int e^{a u}\,du = \frac{1}{a}\,e^{a u} + C,
porque ao derivar \dfrac{1}{a}e^{a u} surge o fator a que cancela.

Resposta

e^{u}+C

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