Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \frac{\operatorname{sec} ^{2} u \operatorname{tg} u+15}{\operatorname{sec} u} d u

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\operatorname{sec}^{2}u\,\tan u + 15}{\operatorname{sec} u}\,du.
Informações dadas:
  • A variável de integração é u.
  • Os termos que aparecem são funções trigonométricas: \operatorname{sec} u, \tan u, e constantes (como 15).
  • Deve-se devolver uma primitiva (função cuja derivada é o integrando) mais a constante de integração.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar o integrando usando identidades algébricas básicas envolvendo \operatorname{sec} (que é 1/\cos) e \tan (que é \sin/\cos). Note que dividir por \operatorname{sec} u é o mesmo que multiplicar por \cos u. Assim,
\frac{\operatorname{sec}^{2}u\,\tan u + 15}{\operatorname{sec} u} = \frac{\operatorname{sec}^{2}u\,\tan u}{\operatorname{sec} u} + \frac{15}{\operatorname{sec} u}.
Isto é a propriedade distributiva \frac{A+B}{C}=\frac{A}{C}+\frac{B}{C}.

Passo 3

Agora simplifico cada fração:
\frac{\operatorname{sec}^{2}u\,\tan u}{\operatorname{sec} u} = \operatorname{sec} u\,\tan u, \qquad \frac{15}{\operatorname{sec} u}=15\cos u,
porque \operatorname{sec}^{2}u/\operatorname{sec} u=\operatorname{sec} u e 1/\operatorname{sec} u=\cos u. Portanto o integrando fica
\operatorname{sec} u\,\tan u + 15\cos u.

Passo 4

Escrevo a integral como soma de duas integrais mais simples:
\int \left(\operatorname{sec} u\,\tan u + 15\cos u\right)\,du = \int \operatorname{sec} u\,\tan u\,du + 15\int \cos u\,du.
Isto usa a linearidade da integral: \int (f+g)=\int f + \int g e extração da constante multiplicativa.

Passo 5

Calculo a primeira integral \int \operatorname{sec} u\,\tan u\,du.
Lembrete importante (fórmula que uso): a derivada de \operatorname{sec} u é
\frac{d}{du}\big(\operatorname{sec} u\big)=\operatorname{sec} u\,\tan u.
Ou seja, a função cuja derivada é \operatorname{sec} u\,\tan u é \operatorname{sec} u. Logo
\int \operatorname{sec} u\,\tan u\,du=\operatorname{sec} u + C_1,
onde C_1 é constante (será incorporada depois na constante geral).

Passo 6

Calculo a segunda integral 15\int \cos u\,du.
Sabendo que \frac{d}{du}(\sin u)=\cos u, tem-se
\int \cos u\,du=\sin u.
Multiplicando pela constante 15,
15\int \cos u\,du=15\sin u + C_2.

Passo 7

Combino os resultados das duas integrais e unifico as constantes C_1 e C_2 numa única constante C:
\int \frac{\operatorname{sec}^{2}u\,\tan u + 15}{\operatorname{sec} u}\,du = \operatorname{sec} u + 15\sin u + C.

Resposta

\operatorname{sec} u + 15\sin u + C

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