Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - Os termos que aparecem são funções trigonométricas:
, , e constantes (como ). - Deve-se devolver uma primitiva (função cuja derivada é o integrando) mais a constante de integração.
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar o integrando usando identidades algébricas básicas envolvendo
(que é
) e
(que é
). Note que dividir por
é o mesmo que multiplicar por
. Assim,
Isto é a propriedade distributiva
.
Passo 3
Agora simplifico cada fração:
porque
e
. Portanto o integrando fica
Passo 4
Escrevo a integral como soma de duas integrais mais simples:
Isto usa a linearidade da integral:
e extração da constante multiplicativa.
Passo 5
Calculo a primeira integral
.
Lembrete importante (fórmula que uso): a derivada de é
Lembrete importante (fórmula que uso): a derivada de
Ou seja, a função cuja derivada é
é
. Logo
onde
é constante (será incorporada depois na constante geral).
Passo 6
Calculo a segunda integral
.
Sabendo que , tem-se
Sabendo que
Multiplicando pela constante
,
Passo 7
Combino os resultados das duas integrais e unifico as constantes
e
numa única constante
: