Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \frac{b+c \operatorname{sen} u}{\cos u} d u

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{b+c\operatorname{sen}u}{\cos u}\,du,
onde b e c são constantes (não dependem de u). Vou listar o que temos e o que o problema pede:
  • Integrando em relação a u.
  • Constantes: b e c.
  • O integrando pode ser reescrito em termos das funções trigonométricas secante e tangente.
  • Objetivo: encontrar uma antiderivada (primitiva) dessa função, apresentando-a de forma explícita.

Passo 2

Usar a linearidade da integral para separar termos: a integral de uma soma é a soma das integrais; constantes podem ser puxadas para fora da integral. Reescrevendo o integrando:
\frac{b+c\operatorname{sen}u}{\cos u}=b\cdot\frac{1}{\cos u}+c\cdot\frac{\operatorname{sen}u}{\cos u}=b\operatorname{sec} u + c\tan u.
Portanto
\int \frac{b+c\operatorname{sen}u}{\cos u}\,du = b\int \operatorname{sec} u\,du + c\int \tan u\,du.
Agora vamos calcular as duas integrais separadamente.

Passo 3

Integrando \tan u. Lembrar que \tan u=\dfrac{\operatorname{sen}u}{\cos u}. Uma maneira simples é usar a substituição v=\cos u. Então dv=-\sin u\,du, logo \sin u\,du=-dv. Assim
\int \tan u\,du=\int \frac{\sin u}{\cos u}\,du=\int \frac{-dv}{v}=-\ln|v|+C=-\ln|\cos u|+C.
Portanto
\int \tan u\,du = -\ln|\cos u| + C.

Passo 4

Integrando \operatorname{sec} u. A integral de \operatorname{sec} u não é imediata; há um truque clássico (multiplicar por uma expressão conveniente) que leva a uma primitiva em função de logaritmo. Explico passo a passo.
Considere
\int \operatorname{sec} u\,du.
Multiplica-se integrando e integrador por \operatorname{sec} u+\tan u:
\int \operatorname{sec} u\,du = \int \operatorname{sec} u\cdot\frac{\operatorname{sec} u+\tan u}{\operatorname{sec} u+\tan u}\,du = \int \frac{\operatorname{sec}^2 u + \operatorname{sec} u\tan u}{\operatorname{sec} u+\tan u}\,du.
Agora observe que a derivada de \operatorname{sec} u+\tan u é
\frac{d}{du}(\operatorname{sec} u+\tan u)=\operatorname{sec} u\tan u+\operatorname{sec}^2 u,
que é exatamente o numerador da fração. Então faça a substituição
t=\operatorname{sec} u+\tan u \quad\Rightarrow\quad dt=(\operatorname{sec} u\tan u+\operatorname{sec}^2 u)\,du.
Com isso a integral fica
\int \frac{dt}{t}=\ln|t|+C=\ln|\operatorname{sec} u+\tan u|+C.
Logo
\int \operatorname{sec} u\,du=\ln|\operatorname{sec} u+\tan u|+C.

Passo 5

Juntando os resultados das duas integrais e lembrando que b e c são constantes:
b\int \operatorname{sec} u\,du + c\int \tan u\,du = b\ln|\operatorname{sec} u+\tan u| - c\ln|\cos u| + C.
É possível usar a identidade \operatorname{sec} u+\tan u=\dfrac{1+\sin u}{\cos u} para reescrever o logaritmo, se preferir manipular em termos de \sin u e \cos u:
\ln|\operatorname{sec} u+\tan u|=\ln\!\left|\frac{1+\sin u}{\cos u}\right|=\ln|1+\sin u|-\ln|\cos u|.
Se substituirmos na expressão anterior, obtemos outra forma equivalente:
b\ln|1+\sin u| - (b+c)\ln|\cos u| + C.
Ambas as formas representam a mesma família de primitivas (diferença absorvida em C).

Resposta

b\ln|\operatorname{sec} u+\tan u|-c\ln|\cos u|+C

Exercícios relacionados