Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração. \int \frac{b+c \operatorname{sen} u}{\cos u} d u
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{b+c\operatorname{sen}u}{\cos u}\,du,
onde b e c são constantes (não dependem de u). Vou listar o que temos e o que o problema pede:
Integrando em relação a u.
Constantes: b e c.
O integrando pode ser reescrito em termos das funções trigonométricas secante e tangente.
Objetivo: encontrar uma antiderivada (primitiva) dessa função, apresentando-a de forma explícita.
Passo 2
Usar a linearidade da integral para separar termos: a integral de uma soma é a soma das integrais; constantes podem ser puxadas para fora da integral. Reescrevendo o integrando:
\frac{b+c\operatorname{sen}u}{\cos u}=b\cdot\frac{1}{\cos u}+c\cdot\frac{\operatorname{sen}u}{\cos u}=b\operatorname{sec} u + c\tan u.
Agora vamos calcular as duas integrais separadamente.
Passo 3
Integrando \tan u. Lembrar que \tan u=\dfrac{\operatorname{sen}u}{\cos u}. Uma maneira simples é usar a substituição v=\cos u. Então dv=-\sin u\,du, logo \sin u\,du=-dv. Assim
Integrando \operatorname{sec} u. A integral de \operatorname{sec} u não é imediata; há um truque clássico (multiplicar por uma expressão conveniente) que leva a uma primitiva em função de logaritmo. Explico passo a passo.
Considere
\int \operatorname{sec} u\,du.
Multiplica-se integrando e integrador por \operatorname{sec} u+\tan u:
É possível usar a identidade \operatorname{sec} u+\tan u=\dfrac{1+\sin u}{\cos u} para reescrever o logaritmo, se preferir manipular em termos de \sin u e \cos u: