Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \frac{15 x^{2}}{\sqrt{x^{3}-1}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{15 x^{2}}{\sqrt{x^{3}-1}}\,dx.
Informações dadas:
  • A variável de integração é x.
  • Elementos que não dependem de x (se houvessem) seriam considerados constantes, mas aqui tudo depende de x.
    O objetivo final é encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{15x^{2}}{\sqrt{x^{3}-1}}, mais a constante de integração C.

Passo 2

Idea didática: usar substituição (trocar uma expressão complicada por uma nova variável) — método padrão quando aparece uma função composta e sua derivada aparece multiplicando. Relembrando a substituição:
  • Se fizer a troca u=g(x), então du=g'(x)\,dx.
  • A integral \int f(g(x))\,g'(x)\,dx transforma-se em \int f(u)\,du.
    Aqui vemos x^{3}-1 dentro da raiz e x^{2}\,dx multiplicando fora; isso sugere escolher
u = x^{3}-1.

Passo 3

Calcular du. Diferenciando u em relação a x:
du = \frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-1\bigr)\,dx = 3x^{2}\,dx.
Isolando x^{2}\,dx obtemos
x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.
Vamos substituir na integral original.

Passo 4

Fazer a substituição na integral:
\int \frac{15 x^{2}}{\sqrt{x^{3}-1}}\,dx = \int \frac{15}{\sqrt{u}}\left(x^{2}\,dx\right).
Substituindo x^{2}\,dx=\dfrac{du}{3}
\int \frac{15}{\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{3} = 5\int u^{-1/2}\,du.
Expliquei: \dfrac{1}{\sqrt{u}}=u^{-1/2} e 15/3=5.

Passo 5

Agora aplicar a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-\tfrac{1}{2}, então
\int u^{-1/2}\,du = \frac{u^{(-1/2)+1}}{(-1/2)+1}+C = \frac{u^{1/2}}{1/2}+C = 2u^{1/2}+C.
Multiplicando pelo fator 5 que estava fora:
5\int u^{-1/2}\,du = 5\cdot\bigl(2u^{1/2}\bigr)+C = 10\,u^{1/2}+C.

Passo 6

Substituir de volta u=x^{3}-1 para voltar à variável x. Lembrando que u^{1/2}=\sqrt{u}, obtemos a primitiva (antes da verificação)
10\sqrt{x^{3}-1}+C.

Passo 7

Verificação rápida (derivação) para ganhar confiança: calcular a derivada de 10\sqrt{x^{3}-1}.
Usando a regra da cadeia e \dfrac{d}{dx}\sqrt{v}=\dfrac{1}{2\sqrt{v}}\,v',
\frac{d}{dx}\bigl(10\sqrt{x^{3}-1}\bigr) = 10\cdot\frac{1}{2\sqrt{x^{3}-1}}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-1\bigr) = 10\cdot\frac{1}{2\sqrt{x^{3}-1}}\cdot 3x^{2} = \frac{30x^{2}}{2\sqrt{x^{3}-1}} = \frac{15x^{2}}{\sqrt{x^{3}-1}}.
Ótimo — a derivada coincide com o integrando, logo a primitiva está correta.

Resposta

10\sqrt{x^{3}-1}+C

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