Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - Elementos que não dependem de
(se houvessem) seriam considerados constantes, mas aqui tudo depende de .
O objetivo final é encontrar uma funçãotal que , mais a constante de integração .
Passo 2
Idea didática: usar substituição (trocar uma expressão complicada por uma nova variável) — método padrão quando aparece uma função composta e sua derivada aparece multiplicando. Relembrando a substituição:
- Se fizer a troca
, então . - A integral
transforma-se em .
Aqui vemosdentro da raiz e multiplicando fora; isso sugere escolher
Passo 3
Calcular
. Diferenciando
em relação a
:
Isolando
obtemos
Vamos substituir na integral original.
Passo 4
Fazer a substituição na integral:
Substituindo
dá
Expliquei:
e
.
Passo 5
Agora aplicar a regra de potência para integrais: para
,
Aqui
, então
Multiplicando pelo fator
que estava fora:
Passo 6
Substituir de volta
para voltar à variável
. Lembrando que
, obtemos a primitiva (antes da verificação)
Passo 7
Verificação rápida (derivação) para ganhar confiança: calcular a derivada de
.
Usando a regra da cadeia e ,
Usando a regra da cadeia e
Ótimo — a derivada coincide com o integrando, logo a primitiva está correta.