Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração. \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
A variável de integração é x.
A expressão \sqrt{x^{2}-1} exige que x^{2}-1\ge 0, ou seja x\le -1 ou x\ge 1. Portanto é preciso ter em mente que a fórmula será válida para |x|>1 (a extensão para casamentos de sinal será tratada pelo valor absoluto no log).
A constante de integração será adicionada ao final (denotada por C).
Passo 2
Escolha do método: observar a raiz do tipo \sqrt{x^{2}-a^{2}} com a=1. Uma técnica padrão e relativamente básica para esse caso é a substituição trigonométrica
x = \operatorname{sec}\theta,
porque
\operatorname{sec}^{2}\theta-1=\tan^{2}\theta,
logo a raiz fica simples. Esta escolha é prática para |x|\ge 1. Para simplificar a razão de sinal, ao desenvolver a substituição a escolha de ramo de \theta é feita de modo que \tan\theta\ge0 quando x\ge1; o uso do valor absoluto no log final garante validade geral.
Passo 3
Aplicando a substituição x=\operatorname{sec}\theta. Calculamos os elementos novos:
Agora precisamos integrar \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta. Vou recordar e demonstrar a técnica padrão para essa integral (é útil na prova):
Multiplica-se numerador e denominador por \operatorname{sec}\theta+\tan\theta:
\int \frac{(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)'}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}\,d\theta = \ln\big|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big| + C.
Passo 5
Voltar à variável x. Lembrando que usamos x=\operatorname{sec}\theta e \tan\theta=\sqrt{\operatorname{sec}^{2}\theta-1}=\sqrt{x^{2}-1}, substituímos na expressão obtida:
\ln\big|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big| + C = \ln\big|x+\sqrt{x^{2}-1}\big| + C.
Esse é o resultado em termos de x. O valor absoluto em \ln|\cdot| garante que a primitiva é válida tanto para x\ge1 quanto para x\le-1, desde que se considere a constante de integração adequada.
Passo 6
Comentário adicional (método alternativo curto e útil para memorização): usando substituição hiperbólica x=\operatorname{cosh} u (válida para x\ge1) tem-se dx=\operatorname{sinh} u\,du e \sqrt{x^{2}-1}=\operatorname{sinh} u, assim a integral reduz a \int du = u + C. Como u=\operatorname{arcosh}x e existe a identidade