Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
onde a variável de integração é
. Informações relevantes:
- A função a integrar é o produto de duas funções trigonométricas de
: e . - Constantes (se houver) são tratadas como constantes e aparecem apenas como
no final (constante de integração).
O objetivo é encontrar uma primitivatal que .
Passo 2
Vou usar um método simples e direto: substituição (método de mudança de variável), que é basicamente reconhecer que uma parte da função é derivada de outra. A ideia:
- escolher
como uma função de cuja derivada apareça multiplicando a outra parte do integrando; - transformar a integral em uma integral em
, que normalmente é mais fácil; - integrar em
e voltar a .
Aqui uma observação sobre notação e regras que vamos usar:
- Se definirmos
, então a diferencial é . - A derivada de
em relação a é . Isso é a chave para a substituição.
Passo 3
Fazendo a substituição natural:
Calculamos a diferencial
:
porque
. Assim
é exatamente
. Substituindo na integral:
A integral
é uma integral polinomial básica; a regra é:
para
. Aqui
, então
Voltando para
usando
:
Passo 4
Comentário didático sobre o resultado: encontrámos uma primitiva
. Para verificar rapidamente que está correta, derivamos:
como queríamos. Então está tudo certo.
Passo 5
Apresento também uma forma alternativa (útil para entender outras técnicas): usar a identidade do ângulo duplo. A identidade trigonométrica é
portanto
Integrando essa forma:
A regra geral
(onde
é constante) dá
Essas duas formas são equivalentes: usando
obtém-se
, que difere de
apenas por uma constante
, isto é absorvida em
.