Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \operatorname{sen} \theta \cos \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}\theta\cos\theta\,d\theta,
onde a variável de integração é \theta. Informações relevantes:
  • A função a integrar é o produto de duas funções trigonométricas de \theta: \operatorname{sen}\theta e \cos\theta.
  • Constantes (se houver) são tratadas como constantes e aparecem apenas como +C no final (constante de integração).
    O objetivo é encontrar uma primitiva F(\theta) tal que F'(\theta)=\operatorname{sen}\theta\cos\theta.

Passo 2

Vou usar um método simples e direto: substituição (método de mudança de variável), que é basicamente reconhecer que uma parte da função é derivada de outra. A ideia:
  • escolher u como uma função de \theta cuja derivada apareça multiplicando a outra parte do integrando;
  • transformar a integral em uma integral em u, que normalmente é mais fácil;
  • integrar em u e voltar a \theta.
Aqui uma observação sobre notação e regras que vamos usar:
  • Se definirmos u=u(\theta), então a diferencial du é du=\dfrac{du}{d\theta}\,d\theta.
  • A derivada de \operatorname{sen}\theta em relação a \theta é \dfrac{d}{d\theta}\operatorname{sen}\theta=\cos\theta. Isso é a chave para a substituição.

Passo 3

Fazendo a substituição natural:
u=\operatorname{sen}\theta.
Calculamos a diferencial du:
du=\cos\theta\,d\theta,
porque d(\operatorname{sen}\theta)/d\theta=\cos\theta. Assim \cos\theta\,d\theta é exatamente du. Substituindo na integral:
\int \operatorname{sen}\theta\cos\theta\,d\theta = \int u\,du.
A integral \int u\,du é uma integral polinomial básica; a regra é: \int u^n\,du=\dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1. Aqui n=1, então
\int u\,du = \frac{u^{2}}{2}+C.
Voltando para \theta usando u=\operatorname{sen}\theta:
\frac{u^{2}}{2}+C=\frac{\operatorname{sen}^{2}\theta}{2}+C.

Passo 4

Comentário didático sobre o resultado: encontrámos uma primitiva F(\theta)=\dfrac{\operatorname{sen}^{2}\theta}{2}+C. Para verificar rapidamente que está correta, derivamos:
\frac{d}{d\theta}\left(\frac{\operatorname{sen}^{2}\theta}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot 2\operatorname{sen}\theta\cdot\frac{d}{d\theta}(\operatorname{sen}\theta)=\operatorname{sen}\theta\cos\theta,
como queríamos. Então está tudo certo.

Passo 5

Apresento também uma forma alternativa (útil para entender outras técnicas): usar a identidade do ângulo duplo. A identidade trigonométrica é
\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta,
portanto
\sin\theta\cos\theta=\frac{1}{2}\sin 2\theta.
Integrando essa forma:
\int \sin\theta\cos\theta\,d\theta = \int \frac{1}{2}\sin 2\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\int \sin 2\theta\,d\theta.
A regra geral \int \sin(a\theta)\,d\theta = -\dfrac{1}{a}\cos(a\theta)+C (onde a é constante) dá
\frac{1}{2}\int \sin 2\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\cos 2\theta\right)+C = -\frac{\cos 2\theta}{4}+C.
Essas duas formas são equivalentes: usando \cos 2\theta = 1-2\sin^{2}\theta obtém-se -\dfrac{\cos 2\theta}{4} = -\dfrac{1-2\sin^{2}\theta}{4} = \dfrac{\sin^{2}\theta}{2} - \dfrac{1}{4}, que difere de \dfrac{\sin^{2}\theta}{2} apenas por uma constante -\dfrac{1}{4}, isto é absorvida em C.

Resposta

\dfrac{\operatorname{sen}^{2}\theta}{2}+C
-\dfrac{\cos 2\theta}{4}+C

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