Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \operatorname{sen}{ }^{15} x \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}^{15} x \cos x \, dx.
Informações dadas e coisas a observar:
  • A variável de integração é x.
  • A função integranda é \operatorname{sen}^{15} x multiplicada por \cos x.
  • Devemos tratar quaisquer símbolos que não dependam de x como constantes (não há outros símbolos aqui).
  • O objetivo é encontrar uma expressão primitiva (mais uma constante de integração C) cuja derivada seja a integranda.

Passo 2

Escolher uma mudança de variável adequada. Ideia prática (muito usada em prova): quando a integranda contém uma função elevada a uma potência e o seu derivado aparece multiplicando, uma boa escolha é substituir essa função por uma nova variável. Aqui a função elevada é \operatorname{sen} x e o seu derivado é \cos x. Portanto escolhemos
u=\operatorname{sen} x.
Agora calculemos o diferencial du. Derivando ambos os lados em relação a x (regra da derivada da função seno),
du=\cos x\,dx.
Essa escolha é conveniente porque o fator \cos x\,dx aparece exatamente na integral original.

Passo 3

Fazer a substituição na integral usando u=\operatorname{sen} x e du=\cos x\,dx. Assim,
\int \operatorname{sen}^{15} x \cos x \, dx = \int u^{15}\, du.
Aqui reescrevemos \operatorname{sen}^{15} x como u^{15} e \cos x\,dx como du. Agora o problema virou uma integral de potência em u.

Passo 4

Integrar a potência usando a regra da primitiva para potências: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
No nosso caso n=15, então
\int u^{15}\,du=\frac{u^{16}}{16}+C.
(Pequeno lembrete didático: essa regra vem diretamente da regra da derivada invertida — ao derivar \dfrac{u^{16}}{16} obtém-se u^{15}.)

Passo 5

Voltar à variável original x substituindo u=\operatorname{sen} x na primitiva encontrada:
\frac{u^{16}}{16}+C = \frac{\operatorname{sen}^{16} x}{16}+C.
Para checar rapidamente (útil na prova): derivando \dfrac{\operatorname{sen}^{16} x}{16} pelo teorema da cadeia obtém-se \operatorname{sen}^{15} x\cdot \cos x, que é exatamente a integranda. Logo a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{\operatorname{sen}^{16} x}{16}+C

Exercícios relacionados