Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e coisas a observar:
- A variável de integração é
. - A função integranda é
multiplicada por . - Devemos tratar quaisquer símbolos que não dependam de
como constantes (não há outros símbolos aqui). - O objetivo é encontrar uma expressão primitiva (mais uma constante de integração
) cuja derivada seja a integranda.
Passo 2
Escolher uma mudança de variável adequada. Ideia prática (muito usada em prova): quando a integranda contém uma função elevada a uma potência e o seu derivado aparece multiplicando, uma boa escolha é substituir essa função por uma nova variável. Aqui a função elevada é
e o seu derivado é
. Portanto escolhemos
Agora calculemos o diferencial
. Derivando ambos os lados em relação a
(regra da derivada da função seno),
Essa escolha é conveniente porque o fator
aparece exatamente na integral original.
Passo 3
Fazer a substituição na integral usando
e
. Assim,
Aqui reescrevemos
como
e
como
. Agora o problema virou uma integral de potência em
.
Passo 4
Integrar a potência usando a regra da primitiva para potências: para
,
No nosso caso
, então
(Pequeno lembrete didático: essa regra vem diretamente da regra da derivada invertida — ao derivar
obtém-se
.)
Passo 5
Voltar à variável original
substituindo
na primitiva encontrada:
Para checar rapidamente (útil na prova): derivando
pelo teorema da cadeia obtém-se
, que é exatamente a integranda. Logo a primitiva está correta.