Calcule as integrais indefinidas abaixo:
7) \int \arcsin x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \arcsin x \, d x.
Ou seja, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\arcsin x. Observação: a função \arcsin x está definida em [-1,1], então a primitiva que obtivermos será válida nesse intervalo (ou em subintervalos onde as escolhas de sinal abaixo façam sentido).

Passo 2

Vou usar a técnica de integração por partes. Primeiro, lembro e mostro por que a fórmula vale:
Regra do produto para derivadas: se u=u(x) e v=v(x) então
\frac{d}{d x}\big(u v\big)=u\frac{d v}{d x}+v\frac{d u}{d x}.
Integrando ambos os lados em x,
u v=\int u\,d v+\int v\,d u.
Rearranjando obtemos a fórmula de integração por partes:
\int u\,d v = u v - \int v\,d u.
Aqui d v significa a diferencial associada a uma função cuja integral fácil conhecemos, e d u é a diferencial de u.
Escolho as partes pensando em simplificar: tomar u=\arcsin x (porque sua derivada tem forma simples) e d v = d x (fácil de integrar).

Passo 3

Definindo
u=\arcsin x,\qquad d v = d x,
calculo d u e v.
Derivada de \arcsin x: se y=\arcsin x então \sin y = x. Diferenciando,
\cos y\, d y = d x \quad\Rightarrow\quad d y = \frac{d x}{\cos y}.
Como \cos y = \sqrt{1-\sin^2 y}=\sqrt{1-x^2} (no ramo principal), tem-se
d u = d(\arcsin x)=\frac{d x}{\sqrt{1-x^2}}.
Integrando d v=d x obtemos
v=\int d x = x.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int \arcsin x \, d x = u v - \int v\,d u = x\arcsin x - \int x\cdot\frac{d x}{\sqrt{1-x^2}}.
Logo resta calcular a integral
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,d x.

Passo 5

Faço a substituição conveniente para essa integral restante. Seja
t=1-x^2.
Então
d t = -2x\,d x\quad\Rightarrow\quad x\,d x = -\frac{1}{2}\,d t.
Assim
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,d x = \int \frac{x}{\sqrt{t}}\,d x = \int -\frac{1}{2} t^{-1/2}\,d t.
Integrando,
\int -\frac{1}{2} t^{-1/2}\,d t = -\frac{1}{2}\cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = -t^{1/2}+C = -\sqrt{1-x^2}+C.

Passo 6

Voltando à expressão obtida no Passo 4:
\int \arcsin x \, d x = x\arcsin x - \big(-\sqrt{1-x^2}\big) + C.
Portanto
\int \arcsin x \, d x = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C,
onde C é a constante de integração. Resultado válido para x\in(-1,1); em \pm1 é preciso tratar limites, mas a primitiva acima é a forma usual.

Resposta

x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C

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