Calcule as integrais indefinidas abaixo:
7)
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Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Ou seja, encontrar uma função
tal que
. Observação: a função
está definida em
, então a primitiva que obtivermos será válida nesse intervalo (ou em subintervalos onde as escolhas de sinal abaixo façam sentido).
Passo 2
Vou usar a técnica de integração por partes. Primeiro, lembro e mostro por que a fórmula vale:
Regra do produto para derivadas: se
e
então
Integrando ambos os lados em
,
Rearranjando obtemos a fórmula de integração por partes:
Aqui
significa a diferencial associada a uma função cuja integral fácil conhecemos, e
é a diferencial de
.
Escolho as partes pensando em simplificar: tomar
(porque sua derivada tem forma simples) e
(fácil de integrar).
Passo 3
Definindo
calculo
e
.
Derivada de
: se
então
. Diferenciando,
Como
(no ramo principal), tem-se
Integrando
obtemos
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Logo resta calcular a integral
Passo 5
Faço a substituição conveniente para essa integral restante. Seja
Então
Assim
Integrando,
Passo 6
Voltando à expressão obtida no Passo 4:
Portanto
onde
é a constante de integração. Resultado válido para
; em
é preciso tratar limites, mas a primitiva acima é a forma usual.