Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
multiplicada por . - A integral é indefinida (ou seja, espero obter uma primitiva mais uma constante de integração
). - Não há restrições sobre
no enunciado, então procuro uma primitiva válida para real.
Passo 2
Vamos usar uma técnica muito útil: integração por partes. Vou explicar essa técnica passo a passo como se estivéssemos no quadro juntos.
Fórmula da integração por partes:
Aqui:
-
é uma função de que escolhemos; -
é o resto do integrando, também uma expressão em e ; -
é a derivada de em relação a multiplicada por , ou seja ; -
é uma primitiva de , isto é .
A escolha de
e
deve facilitar a integral
. Não se preocupe se parecer complicado — eu escolho e mostro por quê.
Passo 3
Escolho:
Justificativa (intuitiva):
costuma simplificar ao derivar (por causa da regra da cadeia) e
tem primitiva simples. Com essa escolha esperamos que a integral
se torne manejável.
Passo 4
Calculo
e
.
Derivada de
:
Usamos a regra da cadeia: a derivada de é
. Aqui
tem derivada
.
Logo
Usamos a regra da cadeia: a derivada de
Logo
Primitiva de
:
Passo 5
Aplico a fórmula da integração por partes:
Substituindo
:
Simplificando o fator
:
Passo 6
Agora trato a integral
. Faço uma divisão algébrica simples para decompor o quociente.
Note que
portanto
Assim
Passo 7
Calculo as duas integrais separadas:
-
-
Para
faço substituição simples:
coloco. Então , logo .
Assim
(Já que
para todo
, posso omitir as barras verticais, mas mantive a forma padrão.)
Portanto
Passo 8
Volto à expressão obtida no Passo 5 e substituo o valor da integral:
Distribuo o sinal negativo:
Agrupo os termos com
:
Fatorando
: