Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int x \cdot \ln \left(x^{2}+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral indefinida
\int x \cdot \ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é x multiplicada por \ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr).
  • A integral é indefinida (ou seja, espero obter uma primitiva mais uma constante de integração C).
  • Não há restrições sobre x no enunciado, então procuro uma primitiva válida para x real.

Passo 2

Vamos usar uma técnica muito útil: integração por partes. Vou explicar essa técnica passo a passo como se estivéssemos no quadro juntos.
Fórmula da integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função de x que escolhemos;
  • dv é o resto do integrando, também uma expressão em x e dx;
  • du é a derivada de u em relação a x multiplicada por dx, ou seja du = u'(x)\,dx;
  • v é uma primitiva de dv, isto é v = \int dv.
A escolha de u e dv deve facilitar a integral \int v\,du. Não se preocupe se parecer complicado — eu escolho e mostro por quê.

Passo 3

Escolho:
u = \ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr),\qquad dv = x\,dx.
Justificativa (intuitiva): \ln costuma simplificar ao derivar (por causa da regra da cadeia) e x\,dx tem primitiva simples. Com essa escolha esperamos que a integral \int v\,du se torne manejável.

Passo 4

Calculo du e v.
Derivada de u:
Usamos a regra da cadeia: a derivada de \ln(w) é w'/w. Aqui w(x)=x^{2}+1 tem derivada w'(x)=2x.
Logo
du = \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx.
Primitiva de dv:
v = \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.

Passo 5

Aplico a fórmula da integração por partes:
\int x\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u,v,du:
\int x\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\,\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr) - \int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}\,dx.
Simplificando o fator \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}:
\int x\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\,\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr) - \int \frac{x^{3}}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 6

Agora trato a integral \displaystyle \int \frac{x^{3}}{x^{2}+1}\,dx. Faço uma divisão algébrica simples para decompor o quociente.
Note que
x^{3} = x\bigl(x^{2}+1\bigr) - x,
portanto
\frac{x^{3}}{x^{2}+1} = x - \frac{x}{x^{2}+1}.
Assim
\int \frac{x^{3}}{x^{2}+1}\,dx = \int x\,dx - \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 7

Calculo as duas integrais separadas:
  1. \displaystyle \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.
  2. Para \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx faço substituição simples:
    coloco w = x^{2}+1. Então dw = 2x\,dx, logo x\,dx = \tfrac{1}{2}\,dw.
    Assim
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \int \frac{1}{w}\cdot\frac{1}{2}\,dw = \frac{1}{2}\ln|w| + C = \frac{1}{2}\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr) + C.
(Já que x^{2}+1>0 para todo x, posso omitir as barras verticais, mas mantive a forma padrão.)
Portanto
\int \frac{x^{3}}{x^{2}+1}\,dx = \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr).

Passo 8

Volto à expressão obtida no Passo 5 e substituo o valor da integral:
\int x\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\,\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr) - \left(\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr)\right) + C.
Distribuo o sinal negativo:
= \frac{x^{2}}{2}\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr) - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr) + C.
Agrupo os termos com \ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr):
= \left(\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}\right)\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr) - \frac{x^{2}}{2} + C.
Fatorando \tfrac{1}{2}:
= \frac{1}{2}\Bigl((x^{2}+1)\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr) - x^{2}\Bigr) + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\Bigl((x^{2}+1)\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr)-x^{2}\Bigr)+C

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