Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2}+1}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2}+1}}\,d x.
Informações dadas: o integrando é a função x \mapsto \dfrac{2x}{\sqrt{4x^{2}+1}}. A tarefa é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{2x}{\sqrt{4x^{2}+1}}. Não há outras condições (por exemplo, valor inicial), então a resposta deve incluir a constante de integração C.

Passo 2

Vamos escolher um método: substituição (mudança de variável). Vou explicar a ideia de forma bem direta e prática. A regra básica de substituição diz que se tivermos uma integral da forma
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx,
podemos fazer a troca u=g(x), então du=g'(x)\,dx, e a integral vira
\int f(u)\,du.
Aqui " g(x) " é a função composta dentro da integral e " g'(x) " é sua derivada; a substituição simplifica a expressão. Um exemplo simples para fixar: \int \cos(2x)\cdot 2\,dx. Tomamos u=2x, então du=2\,dx e a integral vira \int \cos(u)\,du=\sin(u)+C=\sin(2x)+C.
Aplicando essa ideia ao nosso caso, note que dentro da raiz temos a função 4x^{2}+1; sua derivada em relação a x é 8x, que é proporcional ao numerador 2x. Portanto a substituição u=4x^{2}+1 deve simplificar bem a integral.

Passo 3

Faço a substituição explicitamente:
u = 4x^{2}+1.
Derivando ambos os lados em relação a x:
du = 8x\,dx.
Isolando x\,dx obtemos
x\,dx = \frac{du}{8}.
O integrando original tem 2x\,dx, então
2x\,dx = 2\cdot x\,dx = 2\cdot\frac{du}{8} = \frac{du}{4}.
Também a raiz transforma-se como \sqrt{4x^{2}+1}=\sqrt{u}. Substituindo tudo na integral:
\int \frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2}+1}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{4}.
Colocando o fator constante fora:
\int \frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2}+1}}\,dx = \frac{1}{4}\int u^{-1/2}\,du.

Passo 4

Agora usamos a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=-\tfrac{1}{2}. Aplicando:
\int u^{-1/2}\,du = \frac{u^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = 2u^{1/2} + C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{4} que estava fora:
\frac{1}{4}\int u^{-1/2}\,du = \frac{1}{4}\cdot (2u^{1/2}) + C = \frac{1}{2}u^{1/2} + C.

Passo 5

Voltando à variável x com u=4x^{2}+1:
\frac{1}{2}u^{1/2} + C = \frac{1}{2}\sqrt{u} + C = \frac{1}{2}\sqrt{4x^{2}+1} + C.
Então uma primitiva da função dada é \frac{1}{2}\sqrt{4x^{2}+1} + C.

Passo 6

Confirmação rápida por derivação (checagem): usar a regra da cadeia para derivar F(x)=\dfrac{1}{2}\sqrt{4x^{2}+1}.
F'(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{4x^{2}+1}}\cdot (8x) = \frac{8x}{4\sqrt{4x^{2}+1}} = \frac{2x}{\sqrt{4x^{2}+1}},
que é exatamente o integrando. Está correto.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{4x^{2}+1}+C

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