Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: o integrando é a função
. A tarefa é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que
. Não há outras condições (por exemplo, valor inicial), então a resposta deve incluir a constante de integração
.
Passo 2
Vamos escolher um método: substituição (mudança de variável). Vou explicar a ideia de forma bem direta e prática. A regra básica de substituição diz que se tivermos uma integral da forma
podemos fazer a troca
, então
, e a integral vira
Aqui "
" é a função composta dentro da integral e "
" é sua derivada; a substituição simplifica a expressão. Um exemplo simples para fixar:
. Tomamos
, então
e a integral vira
.
Aplicando essa ideia ao nosso caso, note que dentro da raiz temos a função
; sua derivada em relação a
é
, que é proporcional ao numerador
. Portanto a substituição
deve simplificar bem a integral.
Passo 3
Faço a substituição explicitamente:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Isolando
obtemos
O integrando original tem
, então
Também a raiz transforma-se como
. Substituindo tudo na integral:
Colocando o fator constante fora:
Passo 4
Agora usamos a regra da potência para integrais: para
,
Aqui
. Aplicando:
Multiplicando pelo fator
que estava fora:
Passo 5
Voltando à variável
com
:
Então uma primitiva da função dada é
.
Passo 6
Confirmação rápida por derivação (checagem): usar a regra da cadeia para derivar
.
que é exatamente o integrando. Está correto.