Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \cos x \cdot \tan (\operatorname{sen} x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cos x \,\tan\bigl(\sin x\bigr)\,dx
Trata-se de uma composição de funções trigonométricas, e percebemos que a derivada de \sin x é \cos x, então vamos usar substituição.

Passo 2

Tomamos
u = \sin x,
então
du = \cos x\,dx.
Dessa forma, o fator \cos x\,dx da integral original se transforma em du.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int \cos x \,\tan\bigl(\sin x\bigr)\,dx = \int \tan(u)\,du.

Passo 4

Para integrar \tan(u) usamos a identidade \tan(u)=\dfrac{\sin u}{\cos u} e lembramos que a derivada de \cos u é -\sin u. Assim,
\int \tan(u)\,du = \int \frac{\sin u}{\cos u}\,du = -\ln\bigl|\cos u\bigr| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u=\sin x na antiderivada:
-\ln\bigl|\cos u\bigr| + C = -\ln\bigl|\cos(\sin x)\bigr| + C.

Resposta

\int \cos x \,\tan\bigl(\sin x\bigr)\,dx = -\ln\bigl|\cos(\sin x)\bigr| + C.

Exercícios relacionados