Resolver os problemas
Problema 2
A reação elementar, A+B \rightarrow C, ocorre em fase líquida e é realizada em um reator CSTR de 1000 L . A temperatura do reator deve ser mantida em 120^{\circ} \mathrm{C}. A vazão volumétrica na entrada do reator é de 10 \mathrm{~L} / \mathrm{min}, a vazão molar de A na entrada do reator é de 20 \mathrm{~mol} / \mathrm{min} e a vazão molar de B na entrada do reator é de 30 \mathrm{~mol} / \mathrm{min}. A constante da velocidade na temperatura de 100^{\circ} \mathrm{C} é igual a k=0,007 \frac{L}{\mathrm{~mol} \mathrm{~min}} e a energia de ativação da reação é de 130 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}. Determine a conversão na saída do reator.

Passo 1

O enunciado descreve a reação elementar A + B \to C em fase líquida num CSTR de V = 1000 L, com vazão volumétrica de entrada v_0 = 10 L/min, vazões molares de entrada F_{A0} = 20 mol/min e F_{B0} = 30 mol/min, operando a 120^\circ\mathrm{C}. Pede-se a conversão X na saída. Vamos empregar o balanço em regime estacionário para CSTR e ajustar a constante de velocidade à temperatura via Lei de Arrhenius.

Passo 2

A constante de velocidade na temperatura de referência ( T_1 = 100^\circ\mathrm{C} = 373 K) é
k_1 = 0,007\;\mathrm{L/(mol\,min)}.
Para T_2 = 120^\circ\mathrm{C} = 393 K, a Lei de Arrhenius dá
\ln\frac{k}{k_1} = -\frac{E}{R}\Bigl(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\Bigr),
onde E = 130\times10^3 J/mol e R = 8,314 J/(mol K). Numericamente,
\frac{E}{R}\approx\frac{130\,000}{8,314}\approx15\,640, \quad \frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1} =\frac{1}{393}-\frac{1}{373}\approx -1{,}364\times10^{-4},
\ln\frac{k}{k_1}\approx -15\,640\times(-1{,}364\times10^{-4})\approx2{,}134, \quad k = k_1\,e^{2{,}134}\approx0{,}007\times8{,}45\approx0{,}0592\;\mathrm{L/(mol\,min)}.

Passo 3

As concentrações de entrada são
C_{A0} = \frac{F_{A0}}{v_0} = \frac{20}{10} = 2\;\mathrm{mol/L}, \quad C_{B0} = \frac{F_{B0}}{v_0} = \frac{30}{10} = 3\;\mathrm{mol/L}.
Na saída do reator,
C_A = C_{A0}(1 - X), \quad C_B = C_{B0} - C_{A0}X = 3 - 2X.

Passo 4

O balanço de matéria de A no CSTR em regime estacionário é
F_{A0} - F_{A} = V\,r_A,
como F_A = F_{A0}(1-X) e r_A = k\,C_A\,C_B, resulta
F_{A0}X = V\,k\,\bigl[C_{A0}(1-X)\bigr]\bigl[C_{B0}-C_{A0}X\bigr].

Passo 5

Substituindo valores numéricos:
20\,X = 1000\times0{,}0592\times\bigl[2(1-X)\bigr]\bigl[3-2X\bigr].
Simplificando,
20X = 118{,}4\,(1-X)(3-2X) =118{,}4\,(3 -5X +2X^2),
118{,}4\cdot3 -118{,}4\cdot5X +118{,}4\cdot2X^2 -20X =0 \;\Longrightarrow\; 236{,}8\,X^2 -612\,X +355{,}2 = 0.

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática
X = \frac{612 \pm \sqrt{612^2 -4\cdot236{,}8\cdot355{,}2}}{2\cdot236{,}8} \approx\frac{612 \pm195{,}2}{473{,}6},
obtêm-se X_1\approx0{,}88 e X_2>1 (não física). Assim,
a conversão física é X\approx0{,}88.

Resposta

A conversão na saída do reator é aproximadamente 0,88 (ou 88 %).

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