Resolver os problemas
Problema 3
A reação reversível elementar ( A+B \rightleftarrows C ), em fase líquida, é realizada em um reator CSTR mantido a temperatura constante de 80^{\circ} \mathrm{C}. A alimentação consiste em uma mistura equimolar de A e B. A constante da reação direta é de k_{1}=1,0 \frac{f t^{3}}{\mathrm{~mol} . \mathrm{s}}\, a constante de equilíbrio é de \(K=100,0 \frac{\mathrm{ft}^{3}}{\mathrm{~mol}}\, a concentração inicial de A é de \(2,0 \mathrm{~mol} / \mathrm{ft}^{3} e a vazão molar de A na entrada do reator é de 0,171 \mathrm{~mol} / \mathrm{s}.
a) Determine a conversão de equilíbrio;
b) Determine o volume do reator necessário para alcançar uma conversão de 80 \%.)

Passo 1

O enunciado descreve uma reação reversível elementar
A + B \rightleftarrows C
num CSTR a 80^\circ\mathrm{C} com alimentação equimolar de A e B. Os dados são: constante direta k_{1}=1,0\;\mathrm{ft}^3/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{s}), constante de equilíbrio K=100\;\mathrm{ft}^3/\mathrm{mol}, concentração de alimentação C_{A0}=2,0\;\mathrm{mol}/\mathrm{ft}^3 e vazão molar de A na entrada F_{A0}=0,171\;\mathrm{mol}/\mathrm{s}.
Conteúdo: equilíbrio químico e balanço de matéria em CSTR. Vamos primeiro achar a conversão de equilíbrio e depois o volume para X=0{,}80.

Passo 2

Em equilíbrio definimos a conversão X pela fração de A reagido, de modo que as concentrações no reator são
C_A = C_{A0}(1-X),\quad C_B = C_{A0}(1-X),\quad C_C = C_{A0}X.
Para uma reação elementar reversível vale
K = \frac{C_C}{C_A\,C_B}.
Substituindo as expressões de concentração, obtemos
K \;=\;\frac{C_{A0}X}{\bigl(C_{A0}(1-X)\bigr)^2} \;\Longrightarrow\; X = K\,C_{A0}\,(1-X)^2.

Passo 3

Substituindo K=100 e C_{A0}=2{,}0 na equação
X = 100\cdot 2{,}0\,(1-X)^2 = 200\,(1-X)^2
expandimos e rearranjamos:
200\,(1 - 2X + X^2) - X = 0 \;\Longrightarrow\; 200X^2 - 401X + 200 = 0.
Resolvendo a quadrática,
X = \frac{401 \pm \sqrt{401^2 - 4\cdot200\cdot200}}{2\cdot200} = \frac{401 \pm \sqrt{801}}{400}.
As duas raízes são X\approx1{,}073 e X\approx0{,}932; a única fisicamente válida X\le1 é
X_{\rm eq} \approx 0{,}932.

Passo 4

Para projetar o CSTR usamos o balanço de matéria em regime estacionário para A:
F_{A0}\,X \;=\; V\bigl(-r_A\bigr),
onde a taxa líquida de consumo de A é
-r_A = k_1\,C_A\,C_B \;-\; k_{-1}\,C_C,
com k_{-1}=k_1/K=1{,}0/100=0{,}01\;\mathrm{ft}^3/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{s}).

Passo 5

Para X=0{,}80 temos
C_A = C_B = 2{,}0\,(1-0{,}80)=0{,}40\;\mathrm{mol}/\mathrm{ft}^3, \quad C_C = 2{,}0\cdot0{,}80=1{,}6\;\mathrm{mol}/\mathrm{ft}^3.
Logo
-r_A = 1{,}0\cdot0{,}40\cdot0{,}40 \;-\; 0{,}01\cdot1{,}6 =0{,}16 - 0{,}016 = 0{,}144\;\mathrm{mol}/(\mathrm{ft}^3\cdot\mathrm{s}).
O numerador do balanço é
F_{A0}\,X = 0{,}171\cdot0{,}80 = 0{,}1368\;\mathrm{mol}/\mathrm{s}.
Portanto
V = \frac{F_{A0}\,X}{-r_A} = \frac{0{,}1368}{0{,}144} \approx 0{,}95\;\mathrm{ft}^3.

Resposta

a) X_{\rm eq}\approx0{,}932 (93,2 %)
b) V\approx0{,}95\;\mathrm{ft}^3

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