Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \frac{x^{2}}{\left(2+x^{3}\right)^{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}}{\bigl(2+x^{3}\bigr)^{4}}\,dx.
Perceba que a expressão dentro do parêntese é 2+x^3 e sua derivada é proporcional a x^2. Isso indica que podemos usar uma substituição simples para facilitar a integração.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2 + x^{3},
de onde
du = 3x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle \int \frac{x^{2}}{(2+x^{3})^{4}}\,dx obtemos
\int \frac{x^{2}}{(2+x^{3})^{4}}\,dx = \int \frac{1}{u^{4}}\;\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\,\int u^{-4}\,du.
Agora basta integrar uma potência:
\frac{1}{3}\,\int u^{-4}\,du = \frac{1}{3}\,\cdot\frac{u^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{9}\,u^{-3} + C.

Passo 4

Volta à variável x:
-\frac{1}{9}\,u^{-3} + C = -\frac{1}{9}\,(2+x^{3})^{-3} + C = -\frac{1}{9\,(2+x^{3})^{3}} + C.

Resposta

-\frac{1}{9\,(2+x^{3})^{3}} + C

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