Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+2 x+2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+2x+2}}\,dx.
O conteúdo principal é integração por substituição e reconhecimento de derivadas de funções do tipo \sqrt{u^{2}+a^{2}}. Vamos completar o quadrado no radicando e usar uma substituição adequada.

Passo 2

Observe que
x^{2}+2x+2 = (x+1)^{2} + 1.
Isso nos sugere definir uma nova variável u para simplificar a raiz.

Passo 3

Defina
u = x + 1, \quad du = dx,
e note que x = u - 1. A integral passa a ser
\int \frac{u - 1}{\sqrt{u^{2}+1}}\,du.

Passo 4

Separe a integral em duas partes:
\int \frac{u}{\sqrt{u^{2}+1}}\,du \;-\; \int \frac{1}{\sqrt{u^{2}+1}}\,du.
A primeira parte reconhece a derivada de \sqrt{u^{2}+1} e a segunda é a definição de \operatorname{arcsinh}(u) (ou \ln\bigl(u+\sqrt{u^{2}+1}\bigr)).

Passo 5

Calcule cada parte:
\int \frac{u}{\sqrt{u^{2}+1}}\,du = \sqrt{u^{2}+1},
\int \frac{1}{\sqrt{u^{2}+1}}\,du = \operatorname{arcsinh}(u) = \ln\!\bigl(u + \sqrt{u^{2}+1}\bigr).
Portanto, reunindo e voltando a x:
\sqrt{u^{2}+1} - \ln\!\bigl(u+\sqrt{u^{2}+1}\bigr) + C = \sqrt{(x+1)^{2}+1} - \ln\!\bigl(x+1 + \sqrt{x^{2}+2x+2}\bigr) + C.

Resposta

\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+2x+2}}\,dx = \sqrt{x^{2}+2x+2} - \ln\!\bigl(x+1 + \sqrt{x^{2}+2x+2}\bigr) + C.

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