Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \frac{1}{x \ln a} d x \quad(a>0, a \neq 1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{x \ln a}\,dx
com a condição a>0 e a\neq 1. Informação relevante do enunciado: \ln a depende só de a (não de x), portanto é uma constante em relação à variável de integração x. Também é importante lembrar que a função 1/x não está definida em x=0.

Passo 2

Observação básica sobre constantes: se k é uma constante (ou seja, não depende de x), podemos puxá‑la para fora da integral:
\int k\cdot f(x)\,dx = k \int f(x)\,dx.
Aqui temos k=\dfrac{1}{\ln a}, pois \ln a é constante em relação a x. Assim reescrevemos a integral como
\int \frac{1}{x \ln a}\,dx = \frac{1}{\ln a} \int \frac{1}{x}\,dx.

Passo 3

Agora precisamos conhecer a integral de \dfrac{1}{x}. Uma propriedade fundamental do logaritmo natural é que sua derivada é
\frac{d}{dx}\ln|x| = \frac{1}{x}.
Explico por que tem valor absoluto: \ln x só está definida para x>0, mas a primitiva de 1/x deve valer tanto para x>0 quanto para x<0; por isso usamos \ln|x|, que estende corretamente a primitiva para ambos os ramos. Logo a primitiva de \dfrac{1}{x} é \ln|x|.

Passo 4

Aplicando esse resultado na integral que sobrou:
\frac{1}{\ln a} \int \frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{\ln a}\,\ln|x| + C,
onde C é a constante de integração. Isso já é uma resposta válida, lembrando que \ln a\neq 0 porque a>0 e a\neq 1.

Passo 5

Forma alternativa (útil na prova): usar a fórmula de mudança de base do logaritmo. Para qualquer x e base a válida,
\log_a|x| = \frac{\ln|x|}{\ln a}.
Portanto a resposta pode ser escrita de maneira mais compacta como \log_a|x| + C. Um exemplo concreto para fixar: se a=10, então \ln a=\ln 10 e a integral vale \dfrac{\ln|x|}{\ln 10}+C=\log_{10}|x|+C.

Resposta

\displaystyle \frac{\ln|x|}{\ln a}+C
\displaystyle \log_a|x|+C

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