Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
com a condição
e
. Informação relevante do enunciado:
depende só de
(não de
), portanto é uma constante em relação à variável de integração
. Também é importante lembrar que a função
não está definida em
.
Passo 2
Observação básica sobre constantes: se
é uma constante (ou seja, não depende de
), podemos puxá‑la para fora da integral:
Aqui temos
, pois
é constante em relação a
. Assim reescrevemos a integral como
Passo 3
Agora precisamos conhecer a integral de
. Uma propriedade fundamental do logaritmo natural é que sua derivada é
Explico por que tem valor absoluto:
só está definida para
, mas a primitiva de
deve valer tanto para
quanto para
; por isso usamos
, que estende corretamente a primitiva para ambos os ramos. Logo a primitiva de
é
.
Passo 4
Aplicando esse resultado na integral que sobrou:
onde
é a constante de integração. Isso já é uma resposta válida, lembrando que
porque
e
.
Passo 5
Forma alternativa (útil na prova): usar a fórmula de mudança de base do logaritmo. Para qualquer
e base
válida,
Portanto a resposta pode ser escrita de maneira mais compacta como
. Um exemplo concreto para fixar: se
, então
e a integral vale
.