Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \frac{1}{x \ln 2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{x \ln 2}\, dx.
Informações dadas e observações úteis:
  • \ln 2 é uma constante (número real positivo).
  • A variável de integração é x; devemos assumir x\neq 0 porque aparece 1/x.
  • O resultado será uma primitiva (antiderivada) mais uma constante de integração C.

Passo 2

Regra importante que vamos usar: uma constante pode ser retirada da integral. Em termos gerais,
\int k\cdot f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx,
onde k é constante. Isso vale porque integração é linear — é uma propriedade básica das integrais que te salva tempo na prova.

Passo 3

Aplicando a propriedade acima à nossa integral, tiramos \frac{1}{\ln 2} para fora:
\int \frac{1}{x \ln 2}\, dx = \frac{1}{\ln 2}\int \frac{1}{x}\, dx.

Passo 4

Agora precisamos calcular \int \frac{1}{x}\, dx. Aqui entra a primitiva clássica: a função cuja derivada é \frac{1}{x} é \ln|x|. Para ver por que:
  • Para x>0, \frac{d}{dx}\big(\ln x\big)=\frac{1}{x}.
  • Para x<0, podemos usar \ln|x|=\ln(-x) e derivar: \frac{d}{dx}\ln(-x)=\frac{1}{-x}\cdot(-1)=\frac{1}{x}.
    Portanto, de forma unificada,
\frac{d}{dx}\big(\ln|x|\big)=\frac{1}{x}\quad\text{para }x\neq 0,
e assim
\int \frac{1}{x}\, dx = \ln|x| + C.

Passo 5

Substituindo esse resultado em \frac{1}{\ln 2}\int \frac{1}{x}\, dx, obtemos
\frac{1}{\ln 2}\int \frac{1}{x}\, dx = \frac{1}{\ln 2}\big(\ln|x|\big) + C.
Uma forma alternativa e frequentemente mais elegante é reconhecer a relação de mudança de base dos logaritmos:
\frac{\ln|x|}{\ln 2} = \log_{2}|x|.
Então podemos escrever a primitiva também como \log_{2}|x| + C. Ambas as formas estão corretas e equivalentes.

Resposta

\displaystyle \frac{\ln|x|}{\ln 2} + C

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