Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações úteis:
-
é uma constante (número real positivo). - A variável de integração é
; devemos assumir porque aparece . - O resultado será uma primitiva (antiderivada) mais uma constante de integração
.
Passo 2
Regra importante que vamos usar: uma constante pode ser retirada da integral. Em termos gerais,
onde
é constante. Isso vale porque integração é linear — é uma propriedade básica das integrais que te salva tempo na prova.
Passo 3
Aplicando a propriedade acima à nossa integral, tiramos
para fora:
Passo 4
Agora precisamos calcular
. Aqui entra a primitiva clássica: a função cuja derivada é
é
. Para ver por que:
- Para
, . - Para
, podemos usar e derivar: .
Portanto, de forma unificada,
e assim
Passo 5
Substituindo esse resultado em
, obtemos
Uma forma alternativa e frequentemente mais elegante é reconhecer a relação de mudança de base dos logaritmos:
Então podemos escrever a primitiva também como
. Ambas as formas estão corretas e equivalentes.