Determine e esboce o maior domínio possível para cada uma das funções abaixo:
f(x, y)=\frac{\sqrt{x y}}{2 \cos ^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)-1}

Passo 1

O enunciado pede o maior domínio de definição da função
f(x,y)=\frac{\sqrt{x y}}{2\cos^{2}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)-1}\,.
O que precisamos verificar são as condições para que a raiz quadrada seja real e o denominador não se anule.

Passo 2

Para que \sqrt{x y} seja real, devemos ter
x y \ge 0,
isto é, ou x e y são ambos não‐negativos (primeiro quadrante) ou ambos não‐positivos (terceiro quadrante).

Passo 3

Para que o denominador não seja zero, escrevemos
2\cos^{2}\bigl(u\bigr)-1\neq 0
com u=x^{2}+y^{2}. Isso equivale a
\cos^{2}(u)\neq \frac12 \quad\Longleftrightarrow\quad \cos(u)\neq \pm \frac{1}{\sqrt2} \quad\Longleftrightarrow\quad u \neq \frac{\pi}{4} + k\,\frac{\pi}{2},\;k\in\mathbb{Z}.
Logo devemos excluir todas as curvas x^{2}+y^{2} = \tfrac{\pi}{4}+k\,\tfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Unindo as duas condições, o domínio D é dado por
D = \bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2} \mid x y \ge 0,\;x^{2}+y^{2}\neq \tfrac{\pi}{4}+k\,\tfrac{\pi}{2},\;k\in\mathbb{Z}\bigr\}.

Passo 5

Para esboçar, imagine:
  1. Os dois setores (incluindo as bordas) do primeiro e do terceiro quadrante correspondentes a x y\ge0.
  2. Em cada um desses setores, círculos de raio
r_k = \sqrt{\frac{\pi}{4} + k\,\frac{\pi}{2}}
são “perfurados” (removidos) do domínio, para todo k\in\mathbb{Z}.

Resposta

D = \Bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x y\ge 0,\;x^{2}+y^{2}\notin\{\tfrac{\pi}{4}+k\,\tfrac{\pi}{2}\mid k\in\mathbb{Z}\}\Bigr\}.

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