Determine e esboce o maior domínio possível para cada uma das funções abaixo:
f(x, y)=\ln \left(x^{2} y-4 y\right)

Passo 1

O enunciado pede o maior domínio de
f(x,y)=\ln\bigl(x^{2}y-4y\bigr)
ou seja, queremos todos os pares (x,y) tais que o argumento do logaritmo natural seja positivo. O conteúdo envolvido é domínio de funções de duas variáveis e condição de positividade para logaritmo.

Passo 2

Escrevemos o argumento como um produto:
x^{2}y-4y \;=\; y\,(x^{2}-4).
Para que \ln\bigl(y(x^{2}-4)\bigr) esteja definido devemos ter
y\,(x^{2}-4)>0.

Passo 3

Resolver a desigualdade y\,(x^{2}-4)>0 significa que os dois fatores têm o mesmo sinal. Há então duas situações:
  1. y>0 e x^{2}-4>0. Como x^{2}-4>0 equivale a x<-2 ou x>2, temos a região
\{(x,y)\mid y>0\text{ e }(x<-2\text{ ou }x>2)\}.
  1. y<0 e x^{2}-4<0. Como x^{2}-4<0 equivale a -2<x<2, obtemos a região
\{(x,y)\mid y<0\text{ e }-2<x<2\}.
No esboço, basta marcar as linhas verticais x=-2 e x=2 e o eixo x, então sombrear: acima do eixo x apenas fora do intervalo [-2,2], e abaixo do eixo apenas dentro de (-2,2).

Resposta

O domínio de f é
D=\{(x,y)\mid y>0\text{ e }(x<-2\text{ ou }x>2)\}\;\cup\;\{(x,y)\mid y<0\text{ e }-2<x<2\}.

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