Calcule as integrais indefinidas abaixo.
\int \operatorname{arctg}(1 / x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
\int \operatorname{arctg}\bigl(1/x\bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes, pois temos uma função (arctg) multiplicada por 1 em dx.

Passo 2

Escolhemos em \int u\,dv:
u = \operatorname{arctg}(1/x) e dv = dx.
Então calculamos du e v. A derivada de \operatorname{arctg}(1/x) é
du = \frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{arctg}(1/x)\bigr]\,dx = \frac{1}{1+(1/x)^2}\cdot\bigl(-1/x^2\bigr)\,dx = -\frac{1}{x^2+1}\,dx.
E, integrando dv, obtemos
v = \int dx = x.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
ficamos com
\int \operatorname{arctg}\bigl(1/x\bigr)\,dx = x\,\operatorname{arctg}\bigl(1/x\bigr) - \int x\!\bigl(-\tfrac{1}{x^2+1}\bigr)\,dx = x\,\operatorname{arctg}\bigl(1/x\bigr) + \int \frac{x}{x^2+1}\,dx.

Passo 4

Agora basta calcular
\int \frac{x}{x^2+1}\,dx.
Fazendo a substituição t = x^2+1, temos dt = 2x\,dx, logo
\int \frac{x}{x^2+1}\,dx = \frac12 \int \frac{dt}{t} = \frac12 \ln\bigl(x^2+1\bigr).

Passo 5

Juntando tudo, a primitiva vale
x\,\operatorname{arctg}\bigl(1/x\bigr) + \frac12 \ln\bigl(x^2+1\bigr) + C.

Resposta

\boxed{x\,\operatorname{arctg}\bigl(1/x\bigr) + \tfrac12 \ln\bigl(x^2+1\bigr) + C.}

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