Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é
. O que se quer é uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que
. Não há outras condições (como valor inicial), então a resposta virá com constante de integração
.
Passo 2
Vamos usar uma identidade trigonométrica que simplifica potências de seno. A identidade é obtida a partir da fórmula do cosseno do ângulo duplo:
Rearranjando essa relação para isolar
, temos
Explico: aqui
é qualquer expressão que represente um ângulo; a identidade diz que o quadrado do seno pode ser escrito em termos do cosseno do dobro do ângulo — isso é muito útil para integrar potências pares de seno ou cosseno porque transforma em funções de cosseno (ou seno) simples.
Passo 3
Aplicamos a identidade com
. Substituindo:
Note que o fator
vem de duplicar
.
Passo 4
Substituímos essa expressão na integral e usamos a linearidade da integral (a integral de soma é soma das integrais, constantes podem sair):
Expliquei: passei o fator
para fora das integrais e separei a integral em duas partes.
Passo 5
Calculamos cada integral separadamente.
-
Para a primeira:
. -
Para a segunda: integrar
. Podemos usar a regra geral . Vou mostrar rapidamente com substituição: seja , então ou . Assim
Agora voltamos à combinação com os fatores:
Multiplicando os fatores:
Passo 6
Sempre bom conferir: diferenciando o resultado obtemos a integranda. Diferenciando
:
que, pela identidade do Passo 2 com
, é exatamente
. Logo a primitiva está correta.