Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \sin ^{2}(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sin^{2}(2x)\,dx.
Informações dadas: a função a integrar é \sin^{2}(2x). O que se quer é uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\sin^{2}(2x). Não há outras condições (como valor inicial), então a resposta virá com constante de integração C.

Passo 2

Vamos usar uma identidade trigonométrica que simplifica potências de seno. A identidade é obtida a partir da fórmula do cosseno do ângulo duplo:
\cos(2\theta)=1-2\sin^{2}\theta.
Rearranjando essa relação para isolar \sin^{2}\theta, temos
\sin^{2}\theta=\frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
Explico: aqui \theta é qualquer expressão que represente um ângulo; a identidade diz que o quadrado do seno pode ser escrito em termos do cosseno do dobro do ângulo — isso é muito útil para integrar potências pares de seno ou cosseno porque transforma em funções de cosseno (ou seno) simples.

Passo 3

Aplicamos a identidade com \theta=2x. Substituindo:
\sin^{2}(2x)=\frac{1-\cos(2\cdot(2x))}{2}=\frac{1-\cos(4x)}{2}.
Note que o fator 4x vem de duplicar \theta=2x.

Passo 4

Substituímos essa expressão na integral e usamos a linearidade da integral (a integral de soma é soma das integrais, constantes podem sair):
\int \sin^{2}(2x)\,dx=\int \frac{1-\cos(4x)}{2}\,dx=\frac{1}{2}\int dx-\frac{1}{2}\int \cos(4x)\,dx.
Expliquei: passei o fator 1/2 para fora das integrais e separei a integral em duas partes.

Passo 5

Calculamos cada integral separadamente.
  1. Para a primeira: \displaystyle \int dx = x.
  2. Para a segunda: integrar \cos(4x). Podemos usar a regra geral \displaystyle \int \cos(ax)\,dx=\frac{1}{a}\sin(ax)+C. Vou mostrar rapidamente com substituição: seja u=4x, então du=4\,dx ou dx=\dfrac{du}{4}. Assim
\int \cos(4x)\,dx=\int \cos(u)\,\frac{du}{4}=\frac{1}{4}\sin(u)=\frac{1}{4}\sin(4x).
Agora voltamos à combinação com os fatores:
\frac{1}{2}\int dx-\frac{1}{2}\int \cos(4x)\,dx=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\sin(4x)+C.
Multiplicando os fatores:
\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}\sin(4x)+C.

Passo 6

Sempre bom conferir: diferenciando o resultado obtemos a integranda. Diferenciando \displaystyle F(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{8}\sin(4x):
F'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\cdot\cos(4x)\cdot 4=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(4x)=\frac{1-\cos(4x)}{2},
que, pela identidade do Passo 2 com \theta=2x, é exatamente \sin^{2}(2x). Logo a primitiva está correta.

Resposta

\frac{x}{2}-\frac{1}{8}\sin(4x)+C

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