Sabendo que a, b \in \mathbb{R}_{>0}, determine os pontos de equílibrio e classifique-os. Resolva a edo:( 2,0 pontos
\dot{P}=P\left(a^{2}-b^{2} P^{2}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\dot{P} = P\bigl(a^{2} - b^{2}P^{2}\bigr),
onde a e b são constantes positivas. O objetivo é encontrar os pontos de equilíbrio (onde \dot P=0) e classificar cada um deles em termos de estabilidade usando a linearização (derivada de f(P)=P(a^2-b^2P^2)).

Passo 2

Para achar os pontos de equilíbrio, impomos
\dot P = P\bigl(a^{2} - b^{2}P^{2}\bigr)=0.
Isso ocorre se e somente se
P=0 \quad\text{ou}\quad a^{2}-b^{2}P^{2}=0.
Da segunda condição segue
b^{2}P^{2}=a^{2} \quad\Longrightarrow\quad P=\pm\frac{a}{b}.

Passo 3

Definindo f(P)=P(a^{2}-b^{2}P^{2}), calculamos a derivada
f'(P) =\frac{d}{dP}\bigl[P(a^{2}-b^{2}P^{2})\bigr] =a^{2}-3\,b^{2}P^{2}.
Na linearização, o sinal de f'(P^{*}) determina a estabilidade: se f'(P^{*})<0, o equilíbrio é assintoticamente estável; se f'(P^{*})>0, é instável.

Passo 4

Avaliaremos f' em cada ponto de equilíbrio:
f'(0)=a^{2}>0 \quad\Longrightarrow\quad P=0\text{ é instável}.éá
f'\!\Bigl(\tfrac{a}{b}\Bigr) =a^{2}-3\,b^{2}\Bigl(\tfrac{a}{b}\Bigr)^{2} =a^{2}-3a^{2}=-2a^{2}<0 \quad\Longrightarrow\quad P=\frac{a}{b}\text{ é assintoticamente estável}.éá
f'\!\Bigl(-\tfrac{a}{b}\Bigr) =a^{2}-3\,b^{2}\Bigl(-\tfrac{a}{b}\Bigr)^{2} =-2a^{2}<0 \quad\Longrightarrow\quad P=-\frac{a}{b}\text{ é assintoticamente estável}.éá

Resposta

Os pontos de equilíbrio são
P^{*}=0,\quad P^{*}=\frac{a}{b},\quad P^{*}=-\frac{a}{b}.
A classificação é:
(1) P^{*}=0 é instável;
(2) P^{*}=\pm\frac{a}{b} são assintoticamente estáveis.

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