Calcule as integrais indefinidas abaixo:
  1. \int x \operatorname{sen} x d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral indefinida
\int x\,\operatorname{sen} x\,dx.
Ou seja, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=x\operatorname{sen}x. A resposta final deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar: integração por partes. Vou mostrar de onde vem e o que cada símbolo significa.
Derivada do produto (regra do produto) diz que, para duas funções u(x) e v(x),
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u(x)\,v'(x)+v(x)\,u'(x).
Integrando ambos os lados em relação a x obtemos
u(x)v(x)=\int u(x)\,v'(x)\,dx+\int v(x)\,u'(x)\,dx.
Rearranjando:
\int u(x)\,v'(x)\,dx = u(x)v(x)-\int v(x)\,u'(x)\,dx.
Esta é a fórmula de integração por partes. Interpretação das letras:
  • u(x) é uma função que vamos diferenciar; sua diferencial é du=u'(x)\,dx.
  • v'(x)\,dx é o resto do integrando que vamos integrar para obter v(x).
  • Em notação compacta escrevemos a fórmula como
\int u\,dv = uv - \int v\,du.

Passo 3

Escolha de u e dv no nosso integral. Heurística simples: quando houver um fator polinomial (como x) multiplicando uma função trigonométrica, exponencial ou logarítmica, é comum escolher o polinômio como u e o resto como dv. Assim:
u = x,\qquad dv = \operatorname{sen}x\,dx.
Isso porque diferenciar u=x simplifica ( du=dx) e integrar dv=\operatorname{sen}x\,dx é direto.

Passo 4

Calcular du e v.
  • Diferenciando u:
du = dx.
  • Integrando dv: precisamos de v tal que v'=\operatorname{sen}x. Sabendo que \dfrac{d}{dx}(\cos x) = -\operatorname{sen}x, concluímos
v = -\cos x,
pois \dfrac{d}{dx}(-\cos x)=\operatorname{sen}x.

Passo 5

Aplicar a fórmula de integração por partes:
\int x\,\operatorname{sen}x\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u=x, v=-\cos x e du=dx:
\int x\,\operatorname{sen}x\,dx = x\cdot(-\cos x) - \int (-\cos x)\,dx.
Simplificando os sinais:
\int x\,\operatorname{sen}x\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx.

Passo 6

Calcular a integral remanescente \int \cos x\,dx. Sabemos que \dfrac{d}{dx}(\sin x)=\cos x, logo
\int \cos x\,dx = \sin x + C.
Substituindo de volta:
\int x\,\operatorname{sen}x\,dx = -x\cos x + \sin x + C.

Passo 7

Verificação rápida (bom hábito na prova): derivar o resultado deve retornar o integrando.
Derivando F(x)=-x\cos x + \sin x:
F'(x) = -\big(\cos x - x\sin x\big) + \cos x = x\sin x,
pois a derivada de -x\cos x é -\cos x + x\sin x e a derivada de \sin x é \cos x. Os termos -\cos x e +\cos x cancelam, sobrando x\sin x, que é exatamente o integrando. Verificação ok.

Passo 8

Comentário final curto e incentivo: portanto a técnica foi integração por partes, que funciona bem quando um fator simplifica ao derivar (aqui x) e o outro é fácil de integrar (aqui \operatorname{sen}x). Vai dar tudo certo na prova — pratique mais alguns casos semelhantes (por ex. \int x\cos x\,dx ou \int x e^{x}\,dx) para fixar.

Resposta

-x\cos x + \sin x + C

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