Calcule as integrais indefinidas abaixo:
-
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral indefinida
Ou seja, encontrar uma função
tal que
. A resposta final deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Ferramenta que vamos usar: integração por partes. Vou mostrar de onde vem e o que cada símbolo significa.
Derivada do produto (regra do produto) diz que, para duas funções
e
,
Integrando ambos os lados em relação a
obtemos
Rearranjando:
Esta é a fórmula de integração por partes. Interpretação das letras:
-
é uma função que vamos diferenciar; sua diferencial é . -
é o resto do integrando que vamos integrar para obter . - Em notação compacta escrevemos a fórmula como
Passo 3
Escolha de
e
no nosso integral. Heurística simples: quando houver um fator polinomial (como
) multiplicando uma função trigonométrica, exponencial ou logarítmica, é comum escolher o polinômio como
e o resto como
. Assim:
Isso porque diferenciar
simplifica (
) e integrar
é direto.
Passo 4
Calcular
e
.
- Diferenciando
:
- Integrando
: precisamos de tal que . Sabendo que , concluímos
pois
.
Passo 5
Aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Simplificando os sinais:
Passo 6
Calcular a integral remanescente
. Sabemos que
, logo
Substituindo de volta:
Passo 7
Verificação rápida (bom hábito na prova): derivar o resultado deve retornar o integrando.
Derivando :
Derivando
pois a derivada de
é
e a derivada de
é
. Os termos
e
cancelam, sobrando
, que é exatamente o integrando. Verificação ok.
Passo 8
Comentário final curto e incentivo: portanto a técnica foi integração por partes, que funciona bem quando um fator simplifica ao derivar (aqui
) e o outro é fácil de integrar (aqui
). Vai dar tudo certo na prova — pratique mais alguns casos semelhantes (por ex.
ou
) para fixar.