Calcule as integrais indefinidas abaixo.
\int x^{3}\left(x^{2}+3\right)^{10} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{3}\bigl(x^{2}+3\bigr)^{10}\,dx.
O conteúdo aplicável é a técnica de substituição, pois vemos uma função composta (x^{2}+3) elevada a uma potência e um fator x^{3} que sugere derivada de x^{2}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2}+3
então
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Além disso, x^{2} = u-3, de modo que
x^{3}\,dx = x^{2}\,(x\,dx) = (u-3)\,\frac{du}{2}.

Passo 3

Substituindo em \int x^{3}(x^{2}+3)^{10}\,dx obtemos
\int (u-3)\,\frac{du}{2}\;u^{10} = \frac{1}{2}\int \bigl(u^{11}-3u^{10}\bigr)\,du.
Agora integramos termo a termo:
\frac{1}{2}\int u^{11}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{12}}{12} = \frac{u^{12}}{24},
\frac{1}{2}\int (-3u^{10})\,du = -\frac{3}{2}\cdot\frac{u^{11}}{11} = -\frac{3u^{11}}{22}.

Passo 4

Somando as duas partes e incluindo a constante C, temos
\int x^{3}\bigl(x^{2}+3\bigr)^{10}\,dx = \frac{u^{12}}{24}-\frac{3u^{11}}{22}+C.
Voltando a u = x^{2}+3,
\boxed{\frac{\bigl(x^{2}+3\bigr)^{12}}{24} -\frac{3\bigl(x^{2}+3\bigr)^{11}}{22}+C.}

Resposta

\frac{(x^{2}+3)^{12}}{24}-\frac{3(x^{2}+3)^{11}}{22}+C.

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