Resolva cada uma das equações diferenciais, usando o método dos coeficientes a determinar.
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=30 \mathrm{e}^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 3y' + 2y = 30e^{2x}
usando o método dos coeficientes a determinar. Para isso, vamos primeiro encontrar a solução geral da parte homogênea e depois buscar uma solução particular que anule o termo de forçamento 30e^{2x}.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea associada:
y'' + 3y' + 2y = 0.
Escrevendo a equação característica, temos
r^2 + 3r + 2 = 0.
Resolvendo,
r = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4\cdot1\cdot2}}{2} = \frac{-3 \pm 1}{2},
ou seja r_1 = -1 e r_2 = -2. Portanto, a solução homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p da forma
y_p(x) = A e^{2x},
porque o termo de forçamento é 30e^{2x} e 2 não é raiz da característica (sem ressonância). Calculamos as derivadas:
y_p' = 2A e^{2x}, \quad y_p'' = 4A e^{2x}.
Substituindo na equação original,
y_p'' + 3y_p' + 2y_p = \bigl(4A + 3\cdot2A + 2A\bigr)e^{2x} = 12A\,e^{2x}.
Para anular o termo de forçamento, igualamos a 30e^{2x}:
12A = 30 \quad\Longrightarrow\quad A = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}.
Logo,
y_p(x) = \frac{5}{2}\,e^{2x}.

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} + \frac{5}{2}\,e^{2x}.

Resposta

y(x) = C_{1}e^{-x} + C_{2}e^{-2x} + \frac{5}{2}e^{2x}.

Exercícios relacionados