O enunciado dá um problema de valor inicial para a EDO linear de segunda ordem não homogênea
y''-y'=x,
com condições y(0)=2 e y'(0)=3.
O conteúdo aqui é usar a transformada de Laplace para converter a EDO num problema algébrico em s, resolver para Y(s)=\mathcal L\{y\}(s) e então aplicar a transformada inversa.
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados e usando \mathcal L\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0) e \mathcal L\{y'\}(s)=sY(s)-y(0), obtemos