(3,0 ptos) Use a Transformada de Laplace para encontrar a solução do seguinte Problema de Valor Inicial:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}-y^{\prime}=x \\\ y(0)=2 \\\ y^{\prime}(0)=3 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial para a EDO linear de segunda ordem não homogênea
y''-y'=x,
com condições y(0)=2 e y'(0)=3.
O conteúdo aqui é usar a transformada de Laplace para converter a EDO num problema algébrico em s, resolver para Y(s)=\mathcal L\{y\}(s) e então aplicar a transformada inversa.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados e usando
\mathcal L\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0) e
\mathcal L\{y'\}(s)=sY(s)-y(0), obtemos
\bigl(s^2Y(s)-s\cdot2-3\bigr)\;-\;\bigl(sY(s)-2\bigr)\;=\;\mathcal L\{x\}(s)=\frac{1}{s^2}.

Passo 3

Agrupando termos em Y(s) e usando as condições iniciais:
s^2Y(s)-2s-3 -sY(s)+2 = \frac{1}{s^2} \;\Longrightarrow\; (s^2 - s)\,Y(s) = \frac{1}{s^2} +2s +1.
Logo
Y(s)=\frac{\displaystyle \frac1{s^2}+2s+1}{s(s-1)} =\frac{2s^3+s^2+1}{s^3(s-1)}.

Passo 4

Fazendo frações parciais
\frac{2s^3+s^2+1}{s^3(s-1)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{s^3}+\frac{D}{s-1},
determina-se A=-2, B=-1, C=-1, D=4. Assim
Y(s)=-\frac{2}{s}-\frac{1}{s^2}-\frac{1}{s^3}+\frac{4}{s-1}.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa a cada termo:
y(x) =-2\cdot1 \;-\;1\cdot x\;-\;\frac{1}{2}x^2 \;+\;4e^{x} =4e^{x}-2 -x -\frac{x^2}{2}.

Resposta

y(x)=4e^{x}-2 -x -\frac{x^2}{2}.

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