3^{\text {a }} Questão (40 pontos):
Encontre a solução do problema de valor inicial (com Transformada de Laplace):
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=0, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 2y' + 2y = 0,\quad y(0)=1,\quad y'(0)=0
usando a Transformada de Laplace. Vamos aplicar a transformada à equação, usar as condições iniciais para encontrar Y(s) e depois inverter para obter y(t).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo. Lembrando que
\mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0),
\mathcal{L}\{y(t)\} = Y(s).
Então
\mathcal{L}\{y''\} + 2\mathcal{L}\{y'\} + 2\mathcal{L}\{y\} = \bigl(s^2Y(s)-s\cdot1-0\bigr) +2\bigl(sY(s)-1\bigr) +2Y(s)=0.

Passo 3

Reunimos os termos em Y(s) e substituímos as iniciais:
s^2Y(s)-s +2sY(s)-2 +2Y(s)=0 \quad\Longrightarrow\quad Y(s)\,(s^2+2s+2) = s+2.
Logo
Y(s) = \frac{s+2}{s^2+2s+2}.

Passo 4

Note que
s^2+2s+2 = (s+1)^2 +1.
Escrevemos
s+2 = (s+1) +1,
portanto
Y(s) = \frac{s+1}{(s+1)^2+1} \;+\;\frac{1}{(s+1)^2+1}.

Passo 5

Usamos as transformadas inversas conhecidas:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{s+1}{(s+1)^2+1}\Bigr\} = e^{-t}\cos t,
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{(s+1)^2+1}\Bigr\} = e^{-t}\sin t.
Somando, obtemos
y(t) = e^{-t}\cos t \;+\; e^{-t}\sin t = e^{-t}\bigl(\cos t + \sin t\bigr).

Resposta

y(t) = e^{-t}\bigl(\cos t + \sin t\bigr).

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