Calcule as integrais indefinidas abaixo:
integral d xraizx-raiz[3]x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral dxraizx-raiz[3]x. Esse é um problema de integração envolvendo raízes, então vamos usar mudança de variável para converter as raízes em potências racionais e depois aplicar divisão polinomial para integrar.

Passo 2

Definimos a substituição t = x^1/6. Dessa forma temos raizx = t^3, raiz[3]x = t^2 e, como x = t^6, então
dx = 6t^5,dt
Substituindo na integral original obtemos uma expressão só em t.

Passo 3

A integral se transforma em
6integral t^5t^3 - t^2,dt =6integral t^5t^2(t-1),dt =6integral t^3t-1,dt
Fazendo a divisão polinomial
t^3t-1 = t^2 + t + 1 + 1t-1,
e integrando termo a termo, temos
6integral l(t^2 + t + 1 + 1t-1r),dt =6l(t^33 + t^22 + t + ln|t-1|r) + C

Passo 4

Simplificando o resultado:
2t^3 + 3t^2 + 6t + 6ln|t-1| + C
Voltando para a variável x (lembre que t = x^1/6), a resposta final é:
2x^1/2 + 3x^1/3 + 6x^1/6 + 6lnl(x^1/6 - 1r) + C

Resposta

2x^1/2 + 3x^1/3 + 6x^1/6 + 6lnl(x^1/6-1r) + C

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