Exercício 25. Considere pontos em , denotados por . Prove que o ponto em que a soma dos quadrados das distâncias aos pontos é mínima é o centro de gravidade , cujas coordenadas são

Passo 1

O enunciado pede que a gente ache o ponto P=(x,y,z)inR^3 que minimiza a soma dos quadrados das distâncias
S(x,y,z)=sumi=1^nl[(x-xi)^2+(y-yi)^2+(z-zi)^2r]
O conteúdo aqui é minimização de função de várias variáveis: vamos usar derivadas parciais e verificar que o ponto crítico é, de fato, mínimo global.

Passo 2

Definimos a função objetivo
S(x,y,z)=sumi=1^nl[(x-xi)^2+(y-yi)^2+(z-zi)^2r]
Para encontrar pontos críticos, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero. Por exemplo,
partial Spartial x =sumi=1^n2,(x-xi) =2sumi=1^n(x-xi) =2l(n,x-sumi=1^n xir)
Analogamente,
partial Spartial y =2l(n,y-sumi=1^n yir), partial Spartial z =2l(n,z-sumi=1^n zir)

Passo 3

Da condição de ponto crítico nabla S=0 vem o sistema
n,x=sumi=1^n xi, n,y=sumi=1^n yi, n,z=sumi=1^n zi
Logo o único ponto crítico é
x=1nsumi=1^n xi, y=1nsumi=1^n yi, z=1nsumi=1^n zi,
ou seja, o baricentro dos pontos.

Passo 4

Para ver que esse ponto é mínimo global, observamos que a matriz Hessiana de S é
nabla^2S = 2n&0&0 0&2n&0 0&0&2n ,
que é positiva definida. Assim, qualquer ponto crítico é um mínimo estrito, e como há só um, ele minimiza S globalmente.

Resposta

O ponto que minimiza a soma dos quadrados das distâncias é o centro de gravidade
l(tfrac1nsumi=1^n xi,;tfrac1nsumi=1^n yi,;tfrac1nsumi=1^n zir)

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