Exercício 25. Considere pontos em , denotados por . Prove que o ponto em que a soma dos quadrados das distâncias aos pontos é mínima é o centro de gravidade , cujas coordenadas são
Passo 1
O enunciado pede que a gente ache o ponto que minimiza a soma dos quadrados das distâncias
O conteúdo aqui é minimização de função de várias variáveis: vamos usar derivadas parciais e verificar que o ponto crítico é, de fato, mínimo global.
Passo 2
Definimos a função objetivo
Para encontrar pontos críticos, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero. Por exemplo,
Analogamente,
Passo 3
Da condição de ponto crítico vem o sistema
Logo o único ponto crítico é
ou seja, o baricentro dos pontos.
Passo 4
Para ver que esse ponto é mínimo global, observamos que a matriz Hessiana de é
que é positiva definida. Assim, qualquer ponto crítico é um mínimo estrito, e como há só um, ele minimiza S globalmente.
Resposta
O ponto que minimiza a soma dos quadrados das distâncias é o centro de gravidade