Questão 8.(1,0) Seja
derivável, de modo que não exista
, com
. Prove que o conjunto
é finito.
Dica: Suponha que
seja infinito.
Dica: Suponha que
Passo 1
O enunciado diz que
é diferenciável e que não existe
tal que simultaneamente
e
. Queremos provar que o conjunto
é finito.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
seja infinito. Como
é compacto, a sequência infinita de zeros em
tem uma subsequência
que converge para algum ponto
(Teorema de Bolzano–Weierstrass).
Passo 3
Cada
é zero de
, logo
para todo
. Como
é contínua (é diferenciável, logo contínua), ao fazer
temos
portanto
.
Passo 4
Usamos a definição de derivada em
:
Tomando
nesta expressão, como
e
, temos
Fazendo
conclui-se
Isso mostra que em
temos
e
, contrariando a hipótese do enunciado.
Resposta
Portanto, por absurdo,
não pode ser infinito. Logo,
é finito.