Questão 8.(1,0) Seja f:[0,1] R derivável, de modo que não exista x in[0,1], com f(x)=f^prime(x)=0. Prove que o conjunto Z=x in[0,1] ; f(x)=0 é finito.
Dica: Suponha que Z seja infinito.

Passo 1

O enunciado diz que f:[0,1]toR é diferenciável e que não existe xin[0,1] tal que simultaneamente f(x)=0 e f'(x)=0. Queremos provar que o conjunto
Z=xin[0,1]mid f(x)=0
é finito.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que Z seja infinito. Como [0,1] é compacto, a sequência infinita de zeros em Z tem uma subsequência xnsubset Z que converge para algum ponto x0in[0,1] (Teorema de Bolzano–Weierstrass).

Passo 3

Cada xn é zero de f, logo f(xn)=0 para todo n. Como f é contínua (é diferenciável, logo contínua), ao fazer ntoinfty temos
f(x0)=limntoinftyf(xn)=0,
portanto x0in Z.

Passo 4

Usamos a definição de derivada em x0:
f'(x0) =limxto x0f(x)-f(x0)x-x0
Tomando x=xn nesta expressão, como f(xn)=f(x0)=0 e xnneq x0, temos
f(xn)-f(x0)xn-x0 =0-0xn-x0=0
Fazendo ntoinfty conclui-se
f'(x0)=limntoinfty0=0
Isso mostra que em x0 temos f(x0)=0 e f'(x0)=0, contrariando a hipótese do enunciado.

Resposta

Portanto, por absurdo, Z não pode ser infinito. Logo, Z é finito.

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