Calcule as integrais indefinidas abaixo:
integral 2 x(x+1)^2010 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral 2x(x+1)^2010,dx. O conteúdo aqui é integração por substituição, pois vemos uma função (x+1)^2010 cujo derivado está “quase” presente (multiplicado por x).

Passo 2

Vamos aplicar a substituição u = x+1. Então temos:
  • du = dx
  • x = u - 1

Passo 3

Substituindo na integral:
integral 2x(x+1)^2010,dx = integral 2(u - 1),u^2010,du

Passo 4

Agora distribuímos e integramos termo a termo:
2(u - 1)u^2010 = 2(u^2011 - u^2010), então
integral 2(u^2011 - u^2010),du = 2integral u^2011,du - 2integral u^2010,du

Passo 5

Calculando cada parte:
2integral u^2011,du = 2cdotu^20122012, $$
2\int u^{2010},du = 2\cdot\frac{u^{2011}}{2011}.
$$

Passo 6

Logo a primitiva em termos de u é
2cdotu^20122012 - 2cdotu^20112011 + C

Passo 7

Voltando à variável x ( u = x+1) e simplificando 2/2012 = 1/1006:

Resposta

(x+1)^20121006-2(x+1)^20112011+C

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