Calcule as integrais indefinidas abaixo:
integral x^2 raiz[5]x^3+1 d x

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular a integral integral x^2 raiz[5]x^3+1,dx. O conteúdo principal é integração por substituição, que nos ajuda a simplificar integrais de funções compostas reconhendo uma parte cuja derivada aparece multiplicada.

Passo 2

Definimos a substituição u = x^3 + 1. Calculando o diferencial, temos du = 3x^2,dx, daí x^2,dx = du3. Essa escolha facilita porque a raiz quinta envolve exatamente x^3+1.

Passo 3

Reescrevemos a integral em termos de u:
integral x^2 raiz[5]x^3+1,dx = integral u^1/5 du3 = 13integral u^1/5,du

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de potências integral u^n,du = u^n+1n+1 + C. Aqui n=1/5, logo:
integral u^1/5,du = u^1/5 + 11/5 + 1 + C = u^6/56/5 + C = 56u^6/5 + C

Passo 5

Multiplicando pelo fator 1/3 que estava fora da integral, obtemos:
13 cdot 56u^6/5 + C = 518u^6/5 + C

Passo 6

Finalmente, voltamos à variável x substituindo u = x^3 + 1, o que dá:
518(x^3 + 1)^6/5 + C

Resposta

518(x^3+1)^6/5 + C

Exercícios relacionados