Determine o valor máximo da derivada direcional da função
no ponto dado e a direção em que ocorre:
Passo 1
Beleza, a gente tem a função
e o ponto
. O lance aqui é achar a derivada direcional máxima, o que envolve calcular o gradiente e usar que ela vale
.
Passo 2
Primeiro passo na prática: calcular as derivadas parciais usando a regra da cadeia. Tem esse rolê:
Passo 3
Agora é só avaliar isso em
. Como
a raiz dá
. Então
Passo 4
Sabendo que o pico da derivada direcional é a norma do gradiente, calcula:
Passo 5
A direção onde esse valor rolou é a direção do próprio gradiente. O vetor unitário fica:
Resposta
O valor máximo da derivada direcional em
é
e ocorre na direção
.