Determine o valor máximo da derivada direcional da função f no ponto dado e a direção em que ocorre:
z=raiz4-x^2-y^2, P=(1,1)

Passo 1

Beleza, a gente tem a função f(x,y)=raiz4 - x^2 - y^2 e o ponto P=(1,1). O lance aqui é achar a derivada direcional máxima, o que envolve calcular o gradiente e usar que ela vale nabla f cdot u.

Passo 2

Primeiro passo na prática: calcular as derivadas parciais usando a regra da cadeia. Tem esse rolê:
fx(x,y) = -xraiz4 - x^2 - y^2, fy(x,y) = -yraiz4 - x^2 - y^2

Passo 3

Agora é só avaliar isso em P=(1,1). Como 4 - 1^2 - 1^2 = 2 a raiz dá raiz2. Então
nabla f(1,1) = l(-1raiz2,; -1raiz2r)

Passo 4

Sabendo que o pico da derivada direcional é a norma do gradiente, calcula:
|nabla f(1,1)| = raizl(-tfrac1raiz2r)^2 + l(-tfrac1raiz2r)^2 = 1

Passo 5

A direção onde esse valor rolou é a direção do próprio gradiente. O vetor unitário fica:
u = nabla f(1,1)|nabla f(1,1)| = l(-tfrac1raiz2,; -tfrac1raiz2r)

Resposta

O valor máximo da derivada direcional em P é 1 e ocorre na direção u = l(-1raiz2, -1raiz2r).

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