Determine o volume dos sólidos gerados pela rotação em volta dos eixos dados das regiões delimitadas pelas seguintes curvas:
y=x^2, y=2 x, eixo-y

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo-y, a região limitada pelas curvas y = x^2 e y = 2x. O tema envolvido é cálculo de volumes por integração, e a ideia é usar o método das cascas cilíndricas, já que giramos em torno de um eixo vertical e a descrição da região está em função de x.

Passo 2

Primeiro, encontramos onde as duas curvas se cruzam: resolvemos x^2 = 2x, logo x(x-2)=0, dando x=0 e x=2. Esses valores indicam que a região em x vai de 0 a 2, e para cada x a parte superior da região é y=2x e a inferior é y=x^2.

Passo 3

No método das cascas cilíndricas, cada fina lâmina vertical em x gera, ao girar, uma casca de raio x, altura igual à diferença entre as curvas ( 2x - x^2) e espessura dx. O volume de cada casca é aproximado por 2pi Rh dx. Assim o volume total é
V = 2pi integral0^2 xl(2x - x^2r),dx = 2pi integral0^2 l(2x^2 - x^3r),dx

Passo 4

Basta agora calcular a integral:
integral0^2 (2x^2 - x^3),dx = l(tfrac23x^3 - tfrac14x^4r)|0^2 = l(tfrac163 - 4r) = tfrac43

Passo 5

Multiplicando por 2pi, obtemos o volume final.

Resposta

8pi3

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