Determine e classifique os pontos críticos de:
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo: a questão pede para determinar e classificar os pontos críticos da função z = e^{1 + x^2 + y^2}. O conteúdo de matéria envolve cálculo de derivadas parciais de primeira e segunda ordem e o teste da Hessiana para classificação.
Passo 2
Calculamos o gradiente, isto é, as derivadas parciais de primeira ordem. As derivadas são:
Para ter
, igualamos cada derivada a zero. Como
, isso implica
e
. Logo, o único ponto crítico é
.
Passo 3
Para classificar esse ponto, montamos a Hessiana com as derivadas de segunda ordem. As segundas derivadas são:
Avaliando em
temos:
O determinante da Hessiana é
e
. Pelo teste da Hessiana, isso indica que
é um ponto de mínimo local. Como a função cresce para
quando
, esse mínimo é global.
Resposta
O único ponto crítico é
, e ele é um ponto de mínimo local (e também mínimo global) da função, com valor
.