Determine e classifique os pontos críticos de:
z =e^1+x^2+y^2

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: a questão pede para determinar e classificar os pontos críticos da função z = e^{1 + x^2 + y^2}. O conteúdo de matéria envolve cálculo de derivadas parciais de primeira e segunda ordem e o teste da Hessiana para classificação.

Passo 2

Calculamos o gradiente, isto é, as derivadas parciais de primeira ordem. As derivadas são:
fx = 2x e^1 + x^2 + y^2, fy = 2y e^1 + x^2 + y^2
Para ter nabla f = 0, igualamos cada derivada a zero. Como e^1 + x^2 + y^2 neq 0, isso implica x = 0 e y = 0. Logo, o único ponto crítico é (0,0).

Passo 3

Para classificar esse ponto, montamos a Hessiana com as derivadas de segunda ordem. As segundas derivadas são:
fxx = e^1 + x^2 + y^2(2 + 4x^2), fyy = e^1 + x^2 + y^2(2 + 4y^2), fxy = fyx = 4xy e^1 + x^2 + y^2
Avaliando em (0,0) temos:
fxx(0,0) = 2e, fyy(0,0) = 2e, fxy(0,0) = 0
O determinante da Hessiana é D = fxx fyy - fxy^2 = (2e)(2e) - 0 = 4e^2 > 0 e fxx(0,0) = 2e > 0. Pelo teste da Hessiana, isso indica que (0,0) é um ponto de mínimo local. Como a função cresce para +infty quando x^2+y^2toinfty, esse mínimo é global.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0), e ele é um ponto de mínimo local (e também mínimo global) da função, com valor z = e.

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