Calcule o volume de uma esfera de raio a usando o método das seções transversas.
(43 pi a^3 uv )

Passo 1

A questão pede para calcular o volume de uma esfera de raio a usando o método das seções transversais, ou seja, somando via integração as áreas de discos obtidos ao cortar a esfera por planos paralelos a um diâmetro. Vamos usar cálculo integral e a fórmula da área de um círculo.

Passo 2

Em um corte a uma distância x do centro da esfera, o raio do disco formado é r(x)=raiza^2-x^2. Logo, a área dessa seção é
A(x)=pil(r(x)r)^2=pil(a^2-x^2r)

Passo 3

O volume total da esfera é a integral dessa área ao longo de x de -a a +a. Assim, montamos:
V=integral-a^aA(x),dx=piintegral-a^al(a^2-x^2r),dx

Passo 4

Para simplificar, usamos a simetria da função a^2-x^2, que é par, e escrevemos:
V=2piintegral0^al(a^2-x^2r),dx
Agora calculamos a primitiva de a^2-x^2, que é a^2x-tfracx^33.

Passo 5

Aplicando os limites de 0 a a:
V=2pil[a^2x-x^33r]0^a =2pil(a^3-a^33r) =2picdot2a^33 =43pi a^3

Passo 6

Portanto, usando o método das seções transversais, chegamos ao volume da esfera de raio a.

Resposta

43pi a^3 uv

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