Calcule o volume de uma esfera de raio a usando o método das seções transversas.
Passo 1
A questão pede para calcular o volume de uma esfera de raio
usando o método das seções transversais, ou seja, somando via integração as áreas de discos obtidos ao cortar a esfera por planos paralelos a um diâmetro. Vamos usar cálculo integral e a fórmula da área de um círculo.
Passo 2
Em um corte a uma distância
do centro da esfera, o raio do disco formado é
. Logo, a área dessa seção é
Passo 3
O volume total da esfera é a integral dessa área ao longo de
de
a
. Assim, montamos:
Passo 4
Para simplificar, usamos a simetria da função
, que é par, e escrevemos:
Agora calculamos a primitiva de
, que é
.
Passo 5
Aplicando os limites de 0 a
:
Passo 6
Portanto, usando o método das seções transversais, chegamos ao volume da esfera de raio
.