Calcule as integrais indefinidas abaixo. Justifique.
integral 2 x^2 e^x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 2x^2e^x,dx.
O conteúdo envolve integração por partes, pois temos o produto de um polinômio x^2 e a função exponencial e^x.

Passo 2

Fatoramos a constante 2 para simplificar:
integral 2x^2e^x,dx = 2integral x^2e^x,dx
Agora vamos calcular integral x^2e^x,dx por partes.

Passo 3

Aplicamos a fórmula de integração por partes
integral u,dv = uv - integral v,du
com
u = x^2, dv = e^x,dx
du = 2x,dx, v = e^x
Isso dá
integral x^2e^x,dx = x^2e^x - integral 2x,e^x,dx

Passo 4

Calculamos agora integral 2x,e^x,dx de novo por partes, escolhendo
u = 2x, dv = e^x,dx
du = 2,dx, v = e^x
Logo
integral 2x,e^x,dx = 2x,e^x - integral 2,e^x,dx = 2x,e^x - 2e^x

Passo 5

Substituindo esse resultado em integral x^2e^x,dx:
integral x^2e^x,dx = x^2e^x - l(2x,e^x - 2e^xr) = x^2e^x - 2x,e^x + 2e^x
Multiplicando por 2:
integral 2x^2e^x,dx = 2x^2e^x - 4x,e^x + 4e^x + C

Resposta

boxedintegral 2x^2e^x,dx = 2x^2e^x - 4x,e^x + 4e^x + C

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