Calcule as integrais indefinidas abaixo. Justifique.
(1,25) integral 2 x raiz1-x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 2xraiz1-x,dx
O conteúdo aqui é a técnica de mudança de variável (substituição), junto com a fórmula básica
integral u^n,du = u^n+1n+1 + C

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 - x,
portanto
du = -,dx e x = 1 - u

Passo 3

Transformamos o integrando em função de u:
2xraiz1-x,dx =2(1 - u),u^1/2,(-du) =-2l(u^1/2 - u^3/2r),du

Passo 4

Integramos termo a termo usando integral u^n,du = u^n+1/(n+1):
-2integrall(u^1/2 - u^3/2r),du =-2[u^3/2tfrac32-u^5/2tfrac52]+C =-2![23u^3/2-25u^5/2]+C
Simplificando os coeficientes:
-2cdot23 = -43, -2cdotl(-tfrac25r)=45

Passo 5

Voltando à variável x com u=1-x, obtemos
integral 2xraiz1-x,dx =-43(1-x)^3/2+45(1-x)^5/2+C

Resposta

-43(1-x)^3/2+45(1-x)^5/2+C

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