Determine as assíntotas horizontais e verticais das funções abaixo (caso existam).
f(x)=2 x^3-2 x+1x^3-2 x^2+x

Passo 1

O enunciado pede para determinar as assíntotas horizontais e verticais da função racional
f(x)=2x^3-2x+1x^3-2x^2+x
O conteúdo envolve assíntotas de funções racionais. Vamos precisar fatorar polinômios para achar zeros do denominador, estudar limites em pontos críticos (para assíntotas verticais) e comparar graus dos polinômios (para assíntota horizontal).

Passo 2

Para achar as assíntotas verticais, identificamos onde o denominador se anula sem ser “cancelado” pelo numerador. Primeiro fatoramos o denominador:
x^3-2x^2+x = x(x^2-2x+1) = x(x-1)^2
Logo, as raízes são x=0 (multiplicidade 1) e x=1 (multiplicidade 2).

Passo 3

Agora avaliamos o comportamento da função em cada raiz:
  • Em x→0, o numerador tende a 1 (já que 2·0³−2·0+1=1) e o denominador tende a zero com sinal trocando de acordo com o lado, fazendo f(x)→±∞. Isso revela uma assíntota vertical em x=0.
  • Em x→1, o numerador tende a 2·1³−2·1+1=1 e o denominador tende a zero positivo (pois (x−1)²≥0) de ambos os lados, fazendo f(x)→+∞. Isso revela uma assíntota vertical em x=1.

Passo 4

Para achar a assíntota horizontal, comparamos os graus do numerador e do denominador. Ambos são de grau 3. Quando são iguais, a assíntota horizontal é a reta y igual ao quociente dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui o coeficiente líder do numerador é 2 e do denominador é 1, logo y=2.

Resposta

Assíntotas verticais em x=0 e x=1. Assíntota horizontal em y=2.

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