Calcule as integrais indefinidas abaixo. Justifique.
(1,25) integral 2 x^2 e^x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 2x^2e^x,dx
O conteúdo principal aqui é integração por partes, pois temos um produto envolvendo x^2 e e^x.

Passo 2

Primeiro, fatoramos a constante 2:
integral 2x^2e^x,dx = 2integral x^2e^x,dx
Para calcular integral x^2e^x,dx, usamos a fórmula da integração por partes:
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 3

Escolhemos
u = x^2, dv = e^x,dx
logo
du = 2x,dx, v = e^x
Aplicando a fórmula,
integral x^2e^x,dx = x^2e^x - integral 2x,e^x,dx

Passo 4

Agora calculamos integral 2x,e^x,dx por partes de novo. Seja
u = 2x, dv = e^x,dx
então
du = 2,dx, v = e^x
Fica
integral 2x,e^x,dx = 2x,e^x - integral 2,e^x,dx = 2x,e^x - 2e^x + C1

Passo 5

Substituindo em integral x^2e^x,dx,
integral x^2e^x,dx = x^2e^x - l(2x,e^x - 2e^xr) + C2 = e^xl(x^2 - 2x + 2r) + C2
Multiplicando pelo 2 que ficou lá no início:
integral 2x^2e^x,dx = 2,e^xl(x^2 - 2x + 2r) + C,
onde C é a constante geral de integração.

Resposta

2e^xl(x^2 - 2x + 2r) + C

Exercícios relacionados