Calcule as integrais indefinidas abaixo. Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
O conteúdo envolvido é integração de função racional; vamos usar decomposição do numerador em parte que coincide com a derivada do denominador e um resto, seguida de frações parciais.
Passo 2
Repare que a derivada do denominador
é
Podemos então reescrever o numerador:
Passo 3
Com isso a integral separa-se em duas:
Passo 4
A primeira integral é imediata, pois
Passo 5
Para a segunda integral, fatoramos o denominador
e usamos frações parciais:
Igualando numeradores:
Logo
Daí
e
Passo 6
Reunindo tudo,
Simplificando,