Calcule as integrais indefinidas abaixo. Justifique.
(1,25) integral 2 x-1x^2+x-2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 2x - 1x^2 + x - 2,dx
O conteúdo envolvido é integração de função racional; vamos usar decomposição do numerador em parte que coincide com a derivada do denominador e um resto, seguida de frações parciais.

Passo 2

Repare que a derivada do denominador x^2 + x - 2 é
ddx(x^2 + x - 2) = 2x + 1
Podemos então reescrever o numerador:
2x - 1 = (2x + 1) - 2

Passo 3

Com isso a integral separa-se em duas:
integral 2x - 1x^2 + x - 2,dx = integral 2x + 1x^2 + x - 2,dx - 2 integral 1x^2 + x - 2,dx

Passo 4

A primeira integral é imediata, pois
integral 2x + 1x^2 + x - 2,dx = lnl|x^2 + x - 2r| + C1

Passo 5

Para a segunda integral, fatoramos o denominador
x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)
e usamos frações parciais:
1x^2 + x - 2 = Ax - 1 + Bx + 2
Igualando numeradores:
1 = A(x + 2) + B(x - 1) = (A + B)x + (2A - B)
Logo
A + B = 0 2A - B = 1
Daí
A = tfrac13 B = -tfrac13
e
integral 1x^2 + x - 2,dx = 13lnl|x - 1r| - 13lnl|x + 2r| + C2

Passo 6

Reunindo tudo,
integral 2x - 1x^2 + x - 2,dx = lnl|x^2 + x - 2r| - 2l(13lnl|x - 1r| - 13lnl|x + 2r|r) + C
Simplificando,
integral 2x - 1x^2 + x - 2,dx = lnl|x^2 + x - 2r| - 23lnl|x - 1r| + 23lnl|x + 2r| + C

Resposta

lnl|x^2 + x - 2r| - 23lnl|x - 1r| + 23lnl|x + 2r| + C

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