Calcule as integrais indefinidas abaixo usando integração imediata ou o método da substituição.
\int \operatorname{tanh} (\ln (\cos x)) \tan x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{tanh}\bigl(\ln(\cos x)\bigr)\,\tan x\,dx.
O conteúdo principal envolve função hiperbólica composta e método de substituição simples.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \ln(\cos x).
Então
du = \frac{d(\cos x)}{\cos x} = -\frac{\sin x}{\cos x}\,dx = -\tan x\,dx,
isto é,
\tan x\,dx = -\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \operatorname{tanh}\bigl(\ln(\cos x)\bigr)\,\tan x\,dx = \int \operatorname{tanh}(u)\,(-du) = -\int \operatorname{tanh}(u)\,du.

Passo 4

Lembramos que
\operatorname{tanh}(u)=\frac{\operatorname{sinh}(u)}{\operatorname{cosh}(u)} \quad\text{e}\quad \int \operatorname{tanh}(u)\,du = \ln\bigl|\operatorname{cosh}(u)\bigr| + C.
Logo
-\int \operatorname{tanh}(u)\,du = -\ln\bigl|\operatorname{cosh}(u)\bigr| + C.

Passo 5

Voltando à variável x, como u=\ln(\cos x), a primitiva é
-\ln\bigl(\operatorname{cosh}(\ln(\cos x))\bigr) + C.

Resposta

-\ln\bigl(\operatorname{cosh}(\ln(\cos x))\bigr) + C.

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